【教培专用】五升六暑期数学奥数培优讲义-第11讲 数字谜中的计数 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第11讲 数字谜中的计数 五升六 暑期 知识点 1、 数字谜中的计数（六上） 1、竖式中的计数问题：先找出所有满足要求的不同类型的基本填法，在考虑每个类型有多少种变形即可． 2、数阵图中的计数问题：找到问题的突破口，再进行计数． 备注 课堂例题 1、 竖式中的计数 1、（2011高思杯六年级）从1至9中选出8个数字，填入图中的竖式，使等式成立，其中不同字母代表不同数字． 那么： （1）1至9中没有被选出来的那个数字是多少？ （2）在这个加法竖式中，共进位多少次？ （3）的最大值是多少？ （4）题目中的加法竖式共有多少种不同的填法？ 【答案】 （1）8（2）2（3）244（4）16 [来源:Zxxk.Com] 【解析】 和数的数字和为19，1-9的和为45，利用“进一位差9”，可知加数的数字和为37，8没有选，相差18，进两位．显然，千位和十位各进一位，，，，，进而A、E为9和7，C、G为6和4，B、F为3和1，D、H为5和2，的最大值是，竖式共有种填法． 2、如图，请在方框中填入0~4中的数字（可重复），使竖式成立，共有多少种不同的填法？ □ □ □ + □ □ 4 4 4 【答案】 20 【解析】 设竖式为．易知竖式不会产生进位，故．，有4种可能，e有5种可能，b、c被随之确定．因此，共种填法．[来源:学科网ZXXK] 3、在图的方框内填入3，4，5，6中的一个数字，使得竖式成立．请问：所填的9个数字之和是多少？一共有多少种填法？ 【答案】 45；30 【解析】 我们从低位向高位依次分析． 个位上的三个数字都在3至6之间，和最大是，最小是．因此这三个数字的和是15，相加时有进位1． 再来考虑十位上的求和，此时三个数字之和也应该在9至18之间．由于个位向十位有进位1，所以十位上三个数相加的末位是8，只有18符合条件．因此十位上三个数都是6，相加时向百位进1． 考虑百位上的求和，两个数字相加的和末位应该是8．由于这两个数在3至6之间，它们的和最大是，最小是，因此它们的和是8，相加时没有进位． 最后考虑千位，只能够填4． 由上面的分析我们知道，千位上的数字是4，百位、十位、个位上的数字和分别是8，18，15，因此所有这九个数字的和就是． 我们把已经确定的数字填入对应的位置，得到如下的形式： 4 6 6 + 6 4 9 9 5 和是8 和是15 百位上两个数的和是8，有和这两种情况．其中3和5分别填入两个方框，有2种方法，而4和4则只有1种填法，因此百位上的填法有3种． 个位上三个数的和是15，有，，这三种情况．其中3，6，6填入三个方框中有3种填法，4，5，6有种填法，5，5，5只有一种填法，因此个位上的填法有种．千位和十位上的数字都是确定的．由乘法原理，总共的填法有种． 4、在图中的乘法竖式中，每个方框和字母都代表一个数字，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．请问：A、B、C、D共有多少种满足条件的填法？ 【答案】 5 【解析】 显然，．对于这五类，相应的C分别有1、0、2、2、0种，因此共5种． 2、 数阵图中的计数 5、将1到6填入下图，使得每两个相邻的空格中都有1个奇数1个偶数，那么有多少种填法？ 【答案】 72 【解析】 易知某一个格的奇偶性确定后所有格奇偶性随之被确定，故奇偶性有2种可能，进而填法共种． 6、将1至7分别填入图中的7个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有多少种不同的填法？ 【答案】 432 【解析】 在1至7中有4个奇数和3个偶数．由于这三行中每行都有偶数，三列中每列也都有偶数，因此每行恰有一个偶数，每列也恰有一个偶数．分析各个方框中应填数字的奇偶性，有以下三种可能．当方框中填数的奇偶性确定时，接下来在奇数的方框中填入1，3，5，7，有种填法；在偶数的方框中填入2，4，6，有种填法，那么填入7个数就一共有种填法． 由此我们得到，一共有种填法． 奇 偶 偶 奇 奇 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 偶 奇 奇 奇 偶 偶 奇 7、在图1的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图2就是一种填法．请问：一共有多少种不同的填法？ 【答案】 30 【解析】 由于方格内6个数字互不相同，因此填入空格的四个数字是从4~9中选择的4个不同的数．有种选法．当这4个数选定后，最大者填入左下格，最小者填入右上格，余下的两个数位置可以互换，有2种填法． 综合上面的两个步骤，由乘法原理，不同的填法有种． 8、在1～9中选出6个互不相同的数字填入下图的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．一共有_______________种填法． 【答案】 420 【解析】 9个数种可以有种方法，设取出