【教培专用】五升六暑期数学奥数培优讲义-第10讲 数论相关的计数 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第10讲 数论相关的计数 五升六 暑期 知识点 1、 数论相关的计数（六上） 1、整除的性质    （1）加减性：如果a，b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除．    （2）如果b与c的积能整除a，那么b与c能整除a．    （3）如果b，c能整除a，且b与c互质，那么b与c的积能整除a．    （4）传递性：如果c能整除b，b能整除a，则c能整除a． 2、整除的特性    （1）尾数分析法：2、5；  （2）数字求和法：3、9；    （3）奇偶位差：11；    （4）三位截断法：7、11、13．    （5）余数的性质：和的余数等于余数的和；积的余数等于余数的积． 3、计数方法 枚举法、树形图、分类讨论、加法原理和乘法原理、排列与组合等． 备注 课堂例题 1、 数的整除性 1、同时能被6，7，8，9整除的四位数有多少个？ 【答案】 18 【解析】 一个数能被同时6，7，8，9整除，则必须被6，7，8，9的最小公倍数所整除． 其中，最小的能被504整除的四位数必然是504的2倍． ，最大的能被504整除的四位数是504的19倍． 我们要求的四位数，其实都是504的倍数，从504的2倍到19倍有个整数，所以也有18个这样的四位数． 2、用1、2、3、4、5、7这六个数字各一次组成一个六位数，并且使这个六位数是11的倍数，有_________种不同的方法． 【答案】 72 【解析】 奇偶位和是1+2+3+4+5+7=22，奇偶位差等于11的倍数只能是0（两个数的和与差奇偶性相同），，奇数位三个数相加等于11，可以是1+3+7或者2+4+5，所以奇数位有种可能，当奇数位确定以后，偶数为只能是另外三个数字，共有种可能，所以一共有种满足条件的数． 3、（1）有多少个这样的三位数，它本身是5的倍数，去掉个位数字之后可以变成一个能被9整除的两位数？ （2）有多少个这样的三位数，它本身是9的倍数，去掉百位数字之后得到两位数，这个两位数是5的倍数？ 【答案】 （1）20（2）20 【解析】 （1）能被9整除的两位数有共10个，这十个数后添上0或5即满足要求，共个． （2）若三位数个位为0，则前两位是9的倍数，共10个；若个位为5，则前两位被9除余4，可能为，共10个．综上，共个． 4、（龙校六年级秋季）在1到100的自然数中，既不是4的倍数，也不是3的倍数的数共有多少个？ 【答案】 50 【解析】 根据容斥原理，1到100中是3或4的倍数的有个，故既不是4的倍数也不是3的倍数的数有个． 5、（龙校六年级秋季）从数字0，1，2，3，4，5中任意挑选5个组成能被5整除且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？ 【答案】 216 【解析】 若首位可为0，共个，其中首位为0的有个，因此有个符合要求的五位数．[来源:Z,xx,k.Com] 2、 特殊数 6、一个正整数，如果从左到右读和从右到左读是一样的，那么称这个数为“回文数”．例如：1331、7、202、66都是回文数，而220则不是回文数．请问：六位回文数有多少个？五位回文数又有多少个？五位的回文数中，有多少个是4的倍数？ 【答案】 900；900；200 【解析】 六位回文数形式为，故有个； 五位回文数形式为，故仍有个．若其为4的倍数，则，这两位有00、04、……、96共25种可能，但00、20、40、60、80不符合要求，即应为20种，而c有10种，故共个． 7、如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在1至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？ 【答案】 56 【解析】 我们先计算1至200中能被8整除的数的个数： 考虑8的倍数，最小，最大，所以一共有25个能被8整除的数． 再考虑1至200中含有8的数的个数： 用排除法，从0到199当中，我们看成在这样的三个框里面填数 其中第一个框只能填0，1，后两个框可以填0~9，其中，如果百位的框填0，那就是两位数，百位十位的框都是0，那就是一位数，这样我们就不需要考虑首位是否为0了． 不含8的数，首位可以填0或1，十位个位都不能填8，有个． 显然，0和200都不含有8，所以1到200当中含8的数有个． 最后计算含有8且能被8所整除的数： 个位是8且能被8整除的数．有8，48，88，128，168，共5个． 十位是8且能被8整除的数．有80，88和184． 去掉重复的88，一共有7个含有8且能被8所整除的数． 根据容斥原理，总共的幸运数有个． 8、有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，，6789．请问：此列数中的第100个数是多少？ 【答案】 3479 【解析】 上升数的首位不能是0，因此这4个