【教培专用】五升六暑期数学奥数培优讲义-第04讲 进位制问题 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第4讲 进位制问题 五升六 暑期 知识点 1、 进位制问题（六上） 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”．在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制．比如二进制，八进制，十六进制等． 二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”．因此，二进制中只用两个数字0和1．二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为： ． 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一． 注意：对于任意自然数n，我们有n0=1． n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的． 进制间的转换：如右图所示． 知识进阶 课堂例题 1、 进制间的互化 1、（1）； （2）；（3）． 【答案】 （1）31023；3735；11B9；7DD（2）257（3）3470 【解析】 （1）通过“除n取余，逆序排列”的方法，可知 ． （2）． （3）． 2、（1）把三进制数12120120110110121121改写成九进制，它从左向右数第1位数字是多少？ （2）． 【答案】 （1）5（2）13121；731 [来源:学.科.网Z.X.X.K] 【解析】 （1），故三进制转九进制从右往左两位两位转换，故此数改写成九进制后从左向右数第1位数字是． （2），，故二进制转四（八）进制从右往左两（三）位两（三）位转换，由此可得答案．[来源:Z|xx|k.Com] 3、一本书共有2013页，第一天看一页书，从第二天起，每天看的页数都是以前各天的总和．如果直到最后剩下的不足以看一次时就一次看完，共需多少天？ 【答案】 12 【解析】 各天所看页数分别为1、1、2、4、8、16、……、512（第11天），此时共看页，剩，故还需1天，共12天． 2、 N进制中的四则运算 4、． 【答案】 15031 【解析】 列竖式即可，逢七进一． 5、在________进制中有． 【答案】 七 【解析】 在十进制下，，故进制小于10，且为的约数．由于有数字6，故至少为七进制．综上，只能为七进制． 3、 N进制中的数论 6、（金帆五升六）（1）一个7进制的三位数化为9进制的数为，求这个数在十进制中为多少？ （2）一个6进制的三位数化为9进制的数为，这个数在十进制中为多少？ 【答案】 （1）248（2）212 【解析】 （1）我们还原为十进制；．于是；，即；因为24a是8的倍数，40c也是8的倍数，所以b也应该是8的倍数．于是或8，但是在7进制，不可能有8这个数字．于是，所以，则；所以a为5的倍数，c为3的倍数．所以，或5，但是，首位不可以是0，于是，；所以．于是，这个三位数在十进制中为248． （2）；．所以；于是；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数．所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1．所以，或5． ①当，则；则；(7，16)=1，并且a、c≠0，所以，．但是在6，9进制，不可以有一个数字为16． ②当，则；则；mod7后，．所以或者(k为整数)．因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是，；．于是．所以．这个三位数在十进制中为212． 7、A是一个十进制的两位数，且十位是5；A的3倍记作B，把B表示为一个R进制的两位数，它的各位数字恰好与A相同，那么A在十进制中的值是____________． 【答案】 50或55[来源:学*科*网] 【解析】 设，则，化简得，即，a可能为0或5，经检验均符合要求． 8、一个自然数用四进制表示，它的数字和是5；用六进制表示，它的数字和是8；用八进制表示，它的数字和是11．那么在十进制中，这个数最小是_________． 【答案】 53 【解析】 设这个自然数为N 四进制的数字和为5，则是3的倍数，即N除以3余2； 六进制的数字和为8，则是5的倍数，即N除以5余3； 八进制的数字和为11，则是7的倍数，即N除以7余4； 用物不知数方法逐步满足各个条件（详细可以参考本讲前面的知识点内容），求得N最小为53． 经检验可知，，，符合要求． 4、 天平称物 9、一个天平，物品必须放在左盘，砝码必须放在右盘，那么为了能称出1克到1000克，至少需要多少个砝码？ 【答案】 10 【解析】 从称1克开始依次考虑，需要克数为1、2、4、8、……、512的砝码，共10个． 10、一台天平在称物时，允许在天平的两边放砝码．现在要求能一次性地分别称出从1克到121克之间任意整克数重量的物体，至少需要__________个砝码． 【答案】 5 【解析】 因为天平两端可以放砝码，所以可以做减法．必须有1克、3克，这时