【教培专用】五年级上册秋季数学奥数培优讲义-第02讲 公因数与公倍数进阶 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第2讲 公约数与公倍数进阶 五年级 秋季 知识点 1、 公因数与公倍数进阶（五上） 总结 1、字母表示法确定两个数或相关量与最大公因数的关系； 2、三个连续的自然数的最小公倍数是三个自然数的乘积或一半。 课堂例题 1、 两个数的最大公因数与最小公倍数基本应用 1、两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是18，最小公倍数是216．较大数是多少？ 【答案】 72 【解析】 设两个数分别是和，其中a、b互质且不成倍数关系．根据短除法可知，它们的最小公倍数，，所以a、b应为3和4，较大数为． 2、墨莫和小高在黑板上各写了一个自然数，它们的最大公约数是42，最小公倍数是168．那么这两个数的和是_________． 【答案】 210 【解析】 ，将分解成两个互质的数相乘，只能是1和4；因此这两个数是和，和是210． 3、两个数的最大公约数是6，最小公倍数是420，如果这两个数相差18，那么较小的数是多少？ 【答案】 42 【解析】 设这两个数是，，，则这两个数的最小公倍数，即． 与相差18，也就是a，b相差3． ，其中只有7和10相差3，并且互质． 所以，所求的两个数为和，较小的数是42． 4、两个数的最大公约数是12，最小公倍数是72，这两个数的和是60，求这两个数． 【答案】 24和36 【解析】 设这两个数分别是12a和12b，且a、b互质，则它们的最小公倍数是，所以．又因为，所以．所以a和b分别取2和3．所以这两个数分别是24和36． 5、若两个数的最大公约数是18，最小公倍数是1080．这两个数有哪几组？ 【答案】 18和1080，54和360，72和270， 90和216 【解析】 设两个自然数分别是18a和18b，那么a和b互质．这两个自然数的最小公倍数是18ab，那么有，．a和b可能是1和60，3和20，4和15，5和12，所以这两个自然数可能是18和1080，54和360，72和270， 90和216，共四组． 6、两个数的最大公约数是37，两数的和是444，这样的数有哪几组？ 【答案】 37、407或185、259 【解析】 设这两个数分别是37a和37b，且a、b互质，则，所以．满足条件的a和b可能有1和11，5和7．所以这样的两个数分别是37、407或185、259． 7、两个小于150的自然数的乘积是2028，它们的最大公约数是13，求这两个数． 【答案】 39和52 【解析】 设这两个自然数分别是13a和13b，且a、b素质，那么有，所以．又因为两个数都小于150，所以a、b分别是3和4，两个自然数分别是39和52． 8、（金帆五年级秋季）已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数 【答案】 12，15 【解析】 两数最大公约数与最小公倍数之积为180，即两数积为180，两数差为3，，所以两个数为12和15． 2、 多个量之间的最大公因数与最小公倍数的应用 9、甲、乙两个数的最小公倍数是90，乙、丙两个数的最小公倍数是105，甲、丙两个数的最小公倍数是126．请问：甲数是多少？ 【答案】 18 【解析】 先将这几个最小公倍数分解质因数： 甲乙的最小公倍数为，（1） 乙丙的最小公倍数为，（2） 甲丙的最小公倍数为．（3） 由条件（1）能看出，甲数不含质因数7，由条件（3）能看出，甲数不含质因数5，所以它是的约数． 又由条件（2）可以看出，乙、丙两数不能是2和的倍数，所以甲只能是，即甲数为18． 10、已知a与b的最大公约数是4，a与c、b与c的最小公倍数都是100，而且．满足条件的自然数a，b，c共有多少组？ 【答案】 9 【解析】 ，；下面列表分析a、b、c中含有质因数2、5的情况（见图表）． a b c 质因数2 2 2 0或1 质因数5 0 0 2 0 1 0 2 由于是a的约数，因此a至少含有2个2；又因为是a的倍数，所以a至多有2个2．因此a恰好含有2个2．同理b也恰好含有2个2． 由于a与c、b与c的最小公倍数都含有2个5，再根据a与b的最大公约数不含5，可以断定，c一定含有2个5；因为如果c不含2个5，那么有a、c的最小公倍数是100，a中必须含有2个5；再根据b、c的最小公倍数也是350，所以b中也必须含有2个5；这样一来a、b中都含有2个5，它们的最大公约数就不是4了，与题意矛盾．所以c必须含有2个5． 将以上确定的数据填入表中，接下来讨论未确定的情况： c含有0、1或2个2，3种可能； a和b不能同时含有5，再根据，可以确定它们含有5的情况有（0、0）（0、1）（0、2）这3种可能； 综上，满足条件的自然数a、b、c共有组． 11、有4个不同的自然数，它们的和是60．它们的最大公约数最大是__________． 【答案】 6 【解析】 4个不同的自