【教培专用】五年级下册春季数学奥数培优讲义-第10讲 对应计数 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第10讲 对应计数 知识点 1、 对应计数（五下） 课堂例题 1、 插板法 1、把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？ 【答案】 171种；231种 【解析】 用“插板法”即可解决．20个苹果，共有19个空隙，分给个小朋友需要块隔板，将2块隔板插入19个空隙中的某两个中，就是从19个空隙中挑出两个用来插板子，方法有；第二问同样用插板法，仍然是20个苹果和2块隔板．但此时隔板不一定要放在19个空隙中，也可以放在所有苹果的最左端或者最右端，而且它们也不一定插入两个不同的空隙，插入同一个空隙也是可以的．因此，我们只要把20个苹果和2块隔板随意排成一行即可．这个对象排成一行会占22个位置，从这22个位置中挑出2个来放隔板，剩余的20个位置自然就是放苹果，因此共有种不同的方法． 2、要把20个相同的苹果分给小高、墨莫和卡莉娅，要求小高至少分到2个，墨莫至少分到3个，卡莉娅至少分到4个，一共有多少种不同的分法？ 【答案】 78 【解析】 先满足小高分到2个，墨莫分到3个，卡莉娅分到4个，则还剩个．剩下的11个苹果可以任意分，所以为可为空的插板法．分给3个人需要2个隔板，再加上11个苹果，共13个位置，选2个放插板，所以共种不同的方法． 3、某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有__________种不同的可能． 【答案】 861种 【解析】 本题相当于把40个苹果放入3个盘子里，每个盘子都允许为空．因此共有40个苹果和2块隔板．方法数等于． 2、 对应法解计数 4、在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？ 【答案】 336个 【解析】 采用对应计数法，一个的长方形格子中包含4个“L”形，在的方格表中，包含个的长方形格子，共可数出个“L”形． 5、下图中有一个从A到B的公路网络，一辆汽车从A行驶到B，可以选择的最短路线一共有________条？ A B 【答案】 56条 【解析】 根据题目条件，要选择最短的路线，只能往上走或往右走．采用标数法，顶点上标的数字表示从A点到该顶点的走法，如下图所示： 1 1 A R 2 1 3 1 Q B P N M 首先，到M点和N点，当然都只有1种走法，其中到Q点也只有1种走法．因为到P点的前一步，要么是从M点过来，要么是从N点过来，这两种情况之间是分类关系，所以到P点的走法共有种．同理，到R点的走法共有种．按这样的方法，依次把每个点都标上数，如下图所示： 1 1 1 1 1 1 A R 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 Q B P N M 最后，B顶点标记为56，即有56种不同的走法． 6、（1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？[来源:学*科*网Z*X*X*K] （2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？ 【答案】 （1）6种（2）36种 【解析】 （1）青蛙要能够回到起点，必须向左跳两次，向右跳两次．例如（左，左，右，右），（左，右，右，左）等．不难看出，只要从4步中挑出2步来向左，另外两步自然向右，所以只要确定哪两步是向左跳，就确定了哪两步是向右跳．因此跳跃的方法数为种； 1 2 3 4 （2）现在青蛙需要朝四个方向跳，我们记四个方向为1、2、3、4（如图所示）．如果想要跳回原地，必须保证四步之内1和2一样多，3和4一样多．于是可以分为两类情形：第一类，1、2、3、4各一个，共有种方法；第二类，只有1、2或者只有3、4，共有种方法．两者相加共36种． 7、常昊与古力两人进行七番棋冠军争霸赛，谁先胜4局即获得比赛的胜利．请问：比赛过程一共有__________种不同的方式． 【答案】 70种 【解析】 由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种，再乘以2即可．比赛最多进行7场，其中常昊一定胜4场，而且比赛一定是在常昊获得第4场胜利时结束的，因此常昊获胜的那4场比赛的编号就决定了整个比赛流程．若两人只比赛4局，则只有1种方式；若两人比赛了5局，由于最后一局是常昊胜，则常昊在前面4局中胜了3局，有种方法；若两人比赛了6局，由于最后一局是常昊胜，则常昊在前面5局中胜了3局，有种方法；同理，若两人比赛了7局，则共有种方法．因此常昊胜的情况共有种方法．所以比赛过程共有70种不同方法． 8、海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算