【教培专用】五年级下册春季数学奥数培优讲义-第03讲 立体几何 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第3讲 立体几何 知识点 1、 立体几何（五下）   课堂例题 1、 基本计算与切割 1、（师达）一个圆柱侧面展开后是一个正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（ ）． A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 圆柱的底面周长与高相等，故底面半径与高的比是． 2、如图所示，将长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是__________立方厘米；如果四角去掉边长为3厘米的正方形，这个容器的体积是__________立方厘米． 13 9 2 【答案】 90立方厘米；63立方厘米 【解析】 （1）把长方体容器的长、宽、高标在展开图中，如图所示：[来源:学科网ZXXK] 长 宽 高 2 5 9 不难发现，折叠成的长方体容器的长是厘米，宽是厘米，高2厘米，因此容器的体积就是立方厘米． （2）同理，折叠成的长方体容器的长是厘米，宽是厘米，高3厘米，因此容器的体积就是立方厘米． 3、如图所示，有30个棱长为1米的正方体堆成一个四层的立体图形．请问：这个立体图形的表面积等于多少？ 【答案】 72平方米 【解析】 首先，从上面往下面看，看到的图形是一个的正方形，面积是16平方米． 从下往上看，看到的也是一个的正方形，面积也是16平方米． 接着再从四个侧面看，这四个侧面都一样，看到的图形如图所示，正好包含10个面积为1平方米的小正方形，所以每个侧面的面积为10平方米． 这样，这个立体图形的表面积就等于平方米． 4、一个正方体被切成24个大小形状一模一样的小长方体（如图所示），这些小长方体的表面积之和为162平方厘米．请问：原正方体的体积是多少？ 【答案】 27平方厘米 【解析】 现在切出了24个小长方体，一共切了6刀，因此切完之后比原来增加了个面．所以这24个长方体的表面积，实际上就等于原正方体的6个面的面积再加上12个面，即18个面．原正方体的每个面面积为平方厘米．所以正方体的棱长为3厘米． 正方体体积为立方厘米． 5、如图，将4块棱长为1的正方体木块排成如图所示模样，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了多少？ 【答案】 8 【解析】 4块正方体木块拼成如图所示，减少8个小正方形，减少的表面积是． 6、（1）如图1，将4块棱长为1的正方体木块排成一排，拼成一个长方体．那么拼合后这个长方体的表面积，比原来4个正方体的表面积之和少了__________． 图1 （2）一个正方体形状的木块，棱长为1，如图2所示，将其切成两个长方体．这两部分的表面积总和是__________．如果在此基础上再切4刀（如图3所示），将其切成大大小小共18块长方体．这18块长方体表面积总和又是__________．？ 图2 图3 【答案】 （1）6（2）8，16 【解析】 如图所示，如果把2个正方体拼成一个长方体，A、B两个面就重合在一起，拼出来的长方体的表面积和原来相比，就少了这两个面的面积．同样的道理，在这基础之上，每多拼一个正方体，就会多减少两个面． 相反地，如果把一个正方体切成两块，切分之后的表面积和原来相比，多出了A，B两个面．同样地，之后每多切一刀，不管是横着切还是竖着切，表面积都会多出两个面． （1）原先立方体每个面的面积是1，把四块拼成一排，一共拼了三次，每拼一次少两个面，所以拼接之后的减少了个面，也就是表面积少了6． （2）每切一刀多出来两个面．原立方体的表面积为6．切第一刀后，表面积变为． 在此基础上再切4刀，于是又多了个面．最终的表面积总和是． 7、（2011迎春杯六年级初赛）有一个圆柱体，高是底面半径的3倍，将它如图分成大、小两个柱体，如果大圆柱体的表面积是小圆柱体的表面积的3倍，那么大圆柱体的体积是小圆柱体的体积的_________倍． 【答案】 11 【解析】 设原圆柱体的底面半径为1，高为3，则切割后的总表面积为，所以两部分的表面积分别为7．5π和2．5π，侧面积分别为5．5π和0．5π，高之比为11:1，体积之比也是11:1．即11倍． 2、 挖洞与旋转体 8、（金帆六年级秋季）如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？ 【答案】 3 【解析】 大立方体的表面积是202062400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(24542400)69平方厘米，说明小正方体的棱长是