【教培专用】四升五暑期数学奥数培优讲义-第13讲 几何计数 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第13讲 几何计数 知识点 1、 几何计数（五上） 课堂例题 1、 基本数图形 1、（1）下列图形中有_________条线段． （2）下列图形中各有____________个三角形． 【答案】 （1）36（2）15，30 [来源:Zxxk.Com] 【解析】 （1）线段需要两个端点确定，所以从9个点中选出两个点，共有条线段． （2）左图数三角形的个数，可以按含小三角形的个数分类．含1个小三角形的有5个，含2个小三角形的有4个，含3个小三角形的有3个，含4个小三角形的有2个，含5个小三角形的有1个．所以共计有个三角形． 右图三角形，跟左图比较，多了中间线构成的三角形，个数正好与原来左图三角形个数相同15个．所以图中三角形的个数共有30个． 2、下列图形中各有多少个三角形？ 【答案】 16，15 【解析】 注意有序枚举．（1）左图由一部分组成的三角形有6个，由两部分组成的三角形有3个，由三部分组成的三角形有6个，由六部分组成的三角形有1个，共计16个． （2）右图中由一部分组成的三角形有4个，由两部分组成的三角形有6个，由三部分组成的三角形有2个，由四部分组成的三角形有2个，由六部分组成的三角形有1个，共计15个． 3、右图中共有_________个三角形． 【答案】 78 【解析】 恰当分类，有序枚举．图中的三角形可以分为两类，一类是尖朝上的，一类是尖朝下的．设最小的三角形边长为1． （1）尖朝上的：边长为1 的三角形有个；边长为2的三角形有个；边长为3的三角形有个；边长为4的三角形有个；边长为5的三角形有个；边长为6的三角形有1个．所以尖朝上的三角形共有56个． （2）尖朝下的：边长为1 的三角形有个；边长为2的三角形有个；边长为3的三角形有1个．所以尖朝下的三角形共有22个． 所以图中一共有78个三角形． 4、如图，在6×6的正方形网格中，沿网格线能数出多少个正方形？ 【答案】 91 【解析】 根据边长为1、2、3、4、5、6分成六类，共个正方形． 5、右图中含有_________个平行四边形． 【答案】 87 【解析】 所有平行四边形一共有三种不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如图： 这就提示我们可以按这个特点来分类，因为根据图形的对称性，朝左与朝右的平行四边形的个数是一样多的．只需数出朝左或朝右其中的一种和朝上的，就能算出最后的答案了． 下面我们来数尖朝上的平行四边形．所有这种平行四边形的边都是斜的，没有横线，所以要数它们的个数，可以把图中的所有横线都去掉，变成如下图形： 这样一来图形就简单了，这个图里的平行四边形很容易数出来：最小的平行四边形有10个，两个小平行四边形拼成的有12个，三个小平行四边形拼成的有4个，四个小平行四边形拼成的有3个，共29个． 再来数尖朝右的的平行四边形．最小的平行四边形有10个，两个小平行四边形拼成的有12个，三个小平行四边形拼成的有4个，四个小平行四边形拼成的有3个，共29个． 因此原来图形中一共有个平行四边形． 6、右图中有_________个平行四边形． 【答案】 105 【解析】 所有平行四边形一共有三种不同的方向：尖朝右、尖朝左和尖朝上，如图： 这就提示我们可以按这个特点来分类，因为根据图形的对称性，这三种平行四边形的个数是一样多的．只需数出其中的一种，就能算出最后的答案了． 下面我们来数尖朝上的平行四边形．所有这种平行四边形的边都是斜的，没有横线，所以要数它们的个数，可以把图中的所有横线都去掉，变成如下图形： 这样一来图形就简单了，这个图里的平行四边形很容易数出来：最小的平行四边形有10个，两个小平行四边形拼成的有12个，三个小平行四边形拼成的有6个，四个小平行四边形拼成的有5个，六个小平行四边形拼成的有2个，共35个．而对于另外两种平行四边形，也可根据同样的方法数出，都是35个．因此原来图形中一共有个平行四边形． 2、 复杂计数与容斥 7、在右图中（下列各小题中，长方形均包含正方形） （1）一共有_________个长方形． （2）包含“★”的长方形共有_________个． （3）包含“☆”的长方形共有_________个． （4）两个五角星都包含的长方形共有_________个． （5）至少包含一个五角星的长方形共有_________个． （6）两个五角星都不包含的长方形共有_________个． ★ ☆ 【答案】 （1）756（2）216（3）240（4）108（5）348（6）408 【解析】 （1）7条横线选2条作为长，9条竖线选2条作为宽，有个长方形． （2）包含“★”的长方形上下左右分别有3、4、3、6种选法，这样的长方形有个． （3）包含“☆”的长方形上下左右分别有4、3、5、4种选法，这样的长方形有个． （4）两个五角星都含有的长方形上下左右分别有3