【教培专用】四升五暑期数学奥数培优讲义-第02讲 整除问题进阶 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第2讲 整除问题进阶 知识点 1、 整除问题进阶（五上） 课堂例题 1、 两位截断与三位截断 1、在1234，1144，17456789，35442，153153中， （1）哪些是7的倍数？ （2）哪些是13的倍数？ （3）哪些是99的倍数？ 【答案】 （1）17456789、153153（2）1144、153153（3）35442、153153 【解析】 能被7、13整除的数的特征：从个位开始，每三位一截，奇数段之和与偶数段之和的差能被7或13整除．（1）经检验，能被7整除的数有17456789、153153；（2）能被13整除的数有1144、153153；（3）能被99整除的数两位截断和能被99整除，这样的数有35442、153153． 2、六位数能同时被9和11整除．这个六位数是多少？ 【答案】 120087 【解析】 用两位截断法，把分成三段就是、00、，它们的和要能被99整除，只能是，所以原来的六位数是120087． 3、已知九位数能被99整除，这个九位数是__________． 【答案】 123483789 【解析】 设这个九位数为，两位截断后求和是99的倍数，只能是198．所以，．即这个九位数是123483789． 4、卡莉娅写了一个两位数59，墨莫写了一个两位数89，他们让小高写一个一位数放在59与89之间拼成一个五位数，使得这个五位数能被7整除．请问：小高写的数是多少？ 【答案】 6 【解析】 能被7整除，则也能被7整除．能被7整除，也就是能被7整除，所以． 5、已知六位数是13的倍数，中的数字是（ ）． A．1 B．5 C．7 D．9 【答案】 A 【解析】 由三位截断可知，是13的倍数，可得． 6、小高写了一个五位数，用方格盖住了两个数字后变成，并告诉墨莫说这个五位数既是7的倍数，又是125的倍数．那么小高写的五位数可能是__________． 【答案】 30625或37625 【解析】 这个五位数是125的倍数，则末三位是125的倍数，所以方框中填入2．又因为五位数是7的倍数，则的差能被7整除，所以方框中可以填入0或7．即小高写的五位数可能是30625或37625． 7、用数字6，7，8各两个，要组成能同时被6，7，8整除的六位数．请写出一个满足要求的六位数． 【答案】 768768 【解析】 要使这个数能被6整除，只需能被2和3整除．这个六位数的数字和为42，能被3整除，因此这个六位数必定能被3整除；而能被8整除的数必定能被2整除；因此接下来的讨论，只需使这个数满足能被7、8整除的条件．这个数有6，7，8各两个，容易想到形如的数能被7整除，因此只需找到一个能被8整除即可，不难发现768符合条件． 因此768768是满足条件的一个六位数． 2、 综合应用 8、已知51位数能被13整除，中间方格内的数字是多少？ 【答案】 5 【解析】 在本题中，能被13整除．这个数的位数太多，可以想办法使它变得简短一些．利用13的整除特征，末三位999与前面的之差必须能被13整除，即能被13整除，于是应该能被13整除． 观察上述过程，实际上是从原数中去掉了末尾的999999．从另一个角度来看，由13的整除特征，知道999999能被13整除．所以原数与999999的差就能被13整除，也就是能被13整除，即能被13整除．继续下去，每次去掉999999，得到能被13整除． 同样考虑首位．555555能被13整除，所以能被13整除．把减去相当于从首位去掉555555，所得到的仍然能被13整除． 于是还是每次从首位去掉555555，于是最后得到的应该能被13整除． 对枚举可知，559能被13整除，所以方格内所填数字是5． 9、已知52位数能被13整除，中间方格内的数字是__________． 【答案】 26、39、52、65、78、91 【解析】 因为1001是13的倍数，则的积555555也是13的倍数．所以这个多位数可以去掉前面的24个5和后面的24个5，剩下的数能被13整除，即能被13整除．利用除法竖式，除以13的商可能是 ，经检验、、、、、，即中间方格中的数字可能是26、39、52、65、78、91． 10、（2011年四中入学）一个五位数（相同字母表示相同数字）是7的倍数．若将它的十位和个位互换，新数是11的倍数，若将它的十位和百位互换，新数是13的倍数．那么原五位数是________． 【答案】 92029 【解析】 十位和个位互换后是，其为11的倍数，故，即．由于，故，；是7的倍数，故．由于，，故，即a与b之差为7；十位和百位互换后是，故．由于，，故．与a与b之差为7综合考虑得，，那么原五位数是92029． 11、萱萱的爸爸买回来两箱杯子．两个箱子上各贴有一张价签，分别写着“总价117.□△元”、“总价127.