【教培专用】四升五暑期数学奥数培优讲义-第01讲 整除初步 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第1讲 整除问题初步 四升五 暑期 知识点 1、 整除问题初步（五上）   前言 本次课包括特殊数整除特征、分解判别和最值问题。 1、整除特征包括尾数判断、数字和、奇偶位差。其中，弃3弃9要求学生熟练运用。 2、分解判别要分解成有整除特征且互质的两个数。 3、最值问题思考顺序要清楚，另外看清对数字有无要求，比如能否有重复数字，能否取0等。 4、不能被11整除的特殊情况，如百位和个位相加得10的三位数。 课堂例题 1、 整除特征判断方法 1、下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125．在这些自然数中，那么： （1）能被2整除的为__________________，能被4整除的为__________________，能被8整除的为__________________． （2）能被5整除的为__________________，能被25整除的为__________________，能被125整除的为__________________． 【答案】 （1）能被2整除的数:14，80，152，650，434，9064；能被4整除的数:80，152，9064；能被8整除的数：80，152，9064 （2）能被5整除的数:35，80，650，4375，24125；能被25整除的数:650，4375，24125；能被125整除的数:4375，24125 【解析】 能被2，5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；能被4，25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；能被8，125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．运用这些性质可迅速得出答案．[来源:学科网] （1）能被2整除的有：14，80，152，650，434，9064；能被4整除的有：80，152，9064；能被8整除的有：80，152，9064； （2）能被5整除的有：35，80，650，4375，24125；能被25整除的有：650，4375，24125；能被125整除的有：4375，24125． 2、有如下的9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837．则这些数中，能被3整除的为__________________，能被9整除的为__________________，能同时被2和3整除的为__________________． 【答案】 见解析 【解析】 依次计算每个数的各位数字之和： ，，，，，，，，．根据3和9的整除特征可知，387，228，975，525，882，837能被3整除；其中，387，882，837能被9整除．能被3整除的数中偶数是228和882，所以能同时被2和3整除的数是228和882． 3、判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407 （1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ （2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ （3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ （4）哪些数能被11整除？ 【答案】 见解析 【解析】 （1）能被4整除的有：3568，5880，6512，864；能被8整除的有：3568，5880，6512，864； （2）能被25整除的有：8875，93625；能被125整除的有：8875，93625； （3）能被3整除的有：23487，6765，5880，198954，864；能被9整除的有：198954，864；（4）能被11整除的有：6765，6512，407． 4、是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”请问：王老师先后填入的3个数字的和是多少？ 【答案】 21 【解析】 的数字之和能被9整除．即能被9整除，所以第一次填入方框内的数字是7； 的奇数位上的数字之和为，偶数位上的数字之和为，它们相差．这个差能被11整除，所以只能是8，即第二次填入的数字是8； 因为能被8整除，所以能被8整除，直接做除法得到中应填6． 数学老师先后填入的3个数字之和是． 5、牛叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上．但是记账的那张纸被香烟烧了两个洞，上面只剩下“”，其中方框表示被烧出的洞．牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元．请问：这45名工人的总工资有可能是多少元呢？ 【答案】 67680或67185 【解析】 能被45整除，即能同时被5和9整除；能被5整除，则末位数字为0或5，即五位数是或．若五位数是，由于它能被9整除，所以能被9整除，即能被9整除．此时等于6，即工资可能是67680元． 若五位数是，由于它能被9整除，所以能被9整除，即能被9整除．此时等于1，即