【教培专用】四年级下册春季数学奥数培优讲义-第13讲 容斥原理 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第13讲 容斥原理 四年级 春季 知识点 1、 容斥原理（四下） [来源:学|科|网Z|X|X|K] 方法精讲 一、两个对象的容斥原理。 二、三个对象的容斥原理。 三、容斥原理中的最值问题。 [来源:学科网ZXXK] 课堂例题 1、 两个对象的容斥原理 1、（1）一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两者都喜欢吃的有多少人？ （2）暑假里，小高和墨莫一起讨论金陵十八景．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小高去过其中的十二景，那么墨莫去过其中的几景？ （3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部中的一部动画片？ 【答案】 6；11；17 【解析】 画出两个对象的文氏图，找到相应的数字表示的区域． （1）人． （2）小高去过其中的12景，那么只有墨莫一个去过的景有景，墨莫共去过景． （3）这里要把重复的区域去掉两次才是只看过一部的，共有人． [来源:学。科。网] 2、（金帆四年级春季）某班数学、英语期中考试的成绩统计如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人．这个班共有学生多少人？ 【答案】 45 【解析】 这个班共有学生人． 3、渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？ 【答案】 55 【解析】 画出文氏图，游泳和长跑这两项比赛会有重叠，要区别游泳的男生和游泳女生，且这两部分不会重叠，这时我们用一条直线把一个区域分成两部分，这两部分没有重叠．如果不考虑性别，参加长跑比赛的人有人，参加游泳比赛的人有人．总人数是305人，那么游泳和长跑都参加的人有人，其中男生有110人，那么两样都参加的女生有人．那么只参加游泳的女生有人．此题的方法不唯一，也可以看图算出男生有人，那么女生有人．只参加游泳的人有人． 2、 三个对象的容斥原理 4、（龙校四升五暑期）在一个炎热的夏日，11名学生一起去冷饮店，每人都买了冷饮．其中，6人要了汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁．请问：三样都要的有几人？ 【答案】 1 [来源:学科网] 【解析】 设三样都要的有x人．根据容斥原理，，解得． 5、森林里住着一群小白兔，每只小白兔都爱吃萝卜、白菜和青草中的一种或者几种．爱吃萝卜的小白兔中有12只不爱吃白菜；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜．如果三种食物都爱吃的小白兔有5只，那么这群小白兔一共有多少只？ 【答案】 74 【解析】 爱吃萝卜的小白兔中不爱吃白菜的部分是①③，共12只；爱吃白菜的小白兔中有23只不爱吃青草，所以②⑤是23只；爱吃青草的小白兔中有34只不爱吃萝卜，所以⑥⑦是34只；三种都喜欢的小白兔有5只，所以④是5只；以上4部分正好构成小白兔的全部，所以只需将它们相加即可，共有只． ． 6、三位基金经理投资若干支股票．张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支．张经理和王经理都买过的有17支，王经理和李经理都买过的有13支，李经理和张经理都买过的有9支，三个人都买过的有6支．请问：这三位经理一共买过多少支股票？ 【答案】 96 【解析】 首先画出文氏图，找到相应的数字所表示的区域．计算股票之和把张、王、李股票数相加，其中129支股票中G、E、F算了两次，H算了三次．去掉这些重复计算的区域（G、E、F去掉一次，H去掉两次），，发现G、E、F去掉了一次，但H去掉了三次，最后还要把H加上一次．90+6=96支． 7、课间，王老师出了三道脑筋急转弯让学生做，其中只答对第1道题的人有10人，只答对第2道题的人有6人，只答对第3道题的人有4人．至少答对两道题的学生有8人，还有5名同学一道题也没答对．（1）请问王老师的班上有多少名学生？（2）若既答对第1道又答对第2道题的同学有4人，三道题都答对的有1人，那么答对第3道题的同学有多少人？ 【答案】 33人；9人 【解析】 （1）难点是至少答对二道题的学生指的是哪个区域．至少答对二道题的区域是指这些重叠的区域A、B、C、D，那么王老师班上有人． （2）通过画文氏图，D=1，A=3，，答对第3道题的同学有人． 8、四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的