【教培专用】三升四暑期数学奥数培优讲义-第05讲 加法原理与乘法原理 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第5讲 加法原理与乘法原理 四年级 暑期 知识点 1、 加法原理与乘法原理（四上） “加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算！ 我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法．先举一个例子： 餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨． 点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式．也就是说，可以点：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是加法原理．     加法原理：如果完成一件事有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数．   如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点菜组合，点炒菜是一第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可．炒菜选红烧鱼块的点菜方法有2种：（红烧鱼块，土豆炖牛肉）、（红烧鱼块，萝卜炖排骨）；类似地，选滑溜里脊的也有2种：（滑溜里脊，土豆炖牛肉）、（滑溜里脊，萝卜炖排骨）；选清炒虾仁的也有2种：（清炒虾仁，土豆炖牛肉）、（清炒虾仁，萝卜炖排骨）；选三鲜豆腐的也有2种：（三鲜豆腐，土豆炖牛肉）、（三鲜豆腐，萝卜炖排骨）．合在一起就有种点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜．这就是乘法原理．     乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数．     2、 乘法原理进阶（四上） 1、 要想把过程分成几个步骤从而应用乘法原理，必须保证各步骤之间满足下面三个要求：    （1）每步骤只是整个事情的一个部分，必须全部完成才能做完这件事；    （2）步骤之间要有先后顺序，先确定好一步，再作下一步，直到最后；    （3）做完一步时，这一步的结果很可能会影响后面步骤的结果，但一定不能影响后面步骤的方法数．如果这一步的不同结果会导致后面某一步的方法数不同，就不能直接用乘法原理计算．简称“前不影响后原则” 2、 对于染色问题等较复杂的乘法原理问题，在分步时要优先考虑课选择情况较少的步骤，必须让前面步骤的结果不影响后面步骤选择的方法数． 3、 乘法原理的考题类型：    （1）路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；    （2）字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色的方法；    （3）地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；    （4）排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；    （5） 数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法． 方法精讲 一、 加法原理：如果完成一件事有几类方法，在每一类方法中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数． 二、 乘法原理：如果完成一件事情分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数． 三、 标数法是解决路径条数问题的重要方法． 课堂例题 1、 加法原理 1、小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机．经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班．任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？ 【答案】 9种 【解析】 小高一家外出旅行，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有种出行方式． 2、在下图中，从A点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法？ A B 【答案】 35种 【解析】 标数法，如下图： 3、一只甲虫沿着下图中的方格线从A爬到B，每次只能向右爬一格或向上爬一格．图中画着黑点的地方不能通过．请问：这只甲虫可以选择多少条不同的路线？ A B 【答案】 66条 【解析】 由题意，只能沿方格线向右爬或向上爬，则按照从下向上，从左向右的顺序来标数． 把最下边一行与最左边一列上的点都标上1，表示到达这些点只有1种方法，如下图所示： A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 对于图中的其他点，本应该都可以从它的左边或下面过来，这时只需要把与它紧邻的下边一点与左边一点上的数相加，就得到了该点处标记的数．但黑点不能通过，在黑点上标上数0，代表0条路线．依次标出每行上的点处对应的数，如下图所示： 1 5 15 25 40 66 1 4 10 10 15 26 1 3 6 0 5 11 1 2 3 4 5 6 1 1 1