【教培专用】二升三暑期数学奥数培优讲义-第04讲 寻找隐藏周期 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第4讲 寻找隐藏周期 二升三 暑期 知识点 1、 寻找隐藏周期（三上） 1.  解决周期问题的关键是找到周期的长度，只要能找到周期的长度，再用总数除以周期长度，得到的商就是完整的周期个数，余数就是除去完整周期的部分后剩下的个数． 2.  有些问题，只给出了变化的规律，并没有给出明确的周期．这就需要我们按照规律，把隐藏的周期找出来，再利用周期进行计算． 知识精讲 周期现象无处不在，日常生活中无处不在，比如：分针每60分钟就绕钟面一圈回到原来的位置，星期日再过7天还是星期日，地铁不断在线路上来回运行等．所以学好周期问题对于我们平时生活会有很大帮助． [来源:Zxxk.Com]课堂例题 1、 找到周期长度 1、如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针方向跳了100步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了200步，落在另一个圆圈里．这两个圆圈里的数的乘积是多少？[来源:学科网ZXXK] 1 2 3 4 5 6 7 【答案】 12 【解析】 图中圆圈有7个位置，发现无论电子跳蚤顺时针跳还是逆时针跳，都是每跳7步后就回到原处，也就是7步一个周期．，商14说明100步中包含了14个完整的周期，也就是14圈，而余数2则表示电子跳蚤在顺时针跳了14圈回到出发点之后，还要再跳2步，到达3号圆圈． 同样的，由可知，它逆时针跳了28圈后还要再跳4步，到达4号圆圈．因此，这两个圆圈内的乘积是． 2、如图，电子跳蚤每跳一步，可跳过一个圆圈．现在，一只跳蚤按顺时针方向从1号圆圈开始跳，第1步跳到3号圈，第2步跳到5号圈，第3步跳到7号圈，依此类推．跳了100步之后，跳蚤到了哪个圈里？ 1 7 2 3 6 5 4 【答案】 5 【解析】 将跳蚤跳到的数字依次写出：3，5，7，2，4，6，1，3，5，7……，可以看出每7步一周期，，所以跳了100步之后，跳蚤到了圈5里． 2、 寻找隐藏周期-排队找周期 3、100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：第一位同学报1，然后从第二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以7，再报出乘积的个位．第100个同学报的是__________． 【答案】 3 【解析】 第一项为1；，则第二项为7；，则第三项是9；，则第四项是3；，则第五项是1；依此类推，得到数列如下：1，7，9，3，1，7，9，3，1，7，9，3，……从数列中观察出周期是1，7，9，3，周期长度是4．，商是25，说明数列中恰好包含25个完整周期，没有余下的数．所以第100个就是第25个周期的最后一个数 ——3，即第100个同学报3． 4、53位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报4，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一名同学报的是几？ [来源:Z|xx|k.Com] 【答案】 2 【解析】 依次写出每位同学所报之数：4，3，2，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8……可以看出，开始两个数字4和3不在周期内，后面数字每6个一周期．，所以最后一名同学报的是2． 5、84位同学从左向右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，第二位同学报3，然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的个位来．请问：最后一位同学报的是几？总共有多少人报的数是3？ 【答案】 3，42 【解析】 将同学所报数字依次写出：1，3，3，9，7，3，1，3，3，9，7……，6个数一周期．，正好14个周期，最后一个同学报3．每个周期有3个同学报3，所以共人报3． 3、 寻找隐藏周期-手指问题 6、如图，伸出左手，然后从大拇指起开始数数．当数到200的时候，正好数到哪根手指？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …… 【答案】 食指 【解析】 把每个指头对应的数列成一张表．从第一行开始每2行为一个周期；2行有8个数，所以周期长度为8．，没有余数，对应一个周期中的第8个位置，且是从左向右数，即食指． 大拇指 食指 中指 无名指 小拇指 1 2 3 4 8 7 6 5 9 10 11 12 16 15 14 13 17 18 19 20 7、伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．那么，当数到60时，共数过__________次中指． 【答案】 15 【解析】 数1的时候是大拇指，下次再数到大拇指是数9，所以8个数一个周期，每周期数2次中指．，最后不完整周期数1次中指，所以当数到60时，共数了次中指． [来源:Z*xx*k.Com] 8、伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数．那么，当数到50时，共数过__