【教培专用】二升三暑期数学奥数培优讲义-第02讲 枚举法中的字典排列 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第2讲 枚举法中的字典排序 二升三 暑期 知识点 1、 枚举法中的字典排列（三上） 1、 字典排序法   所谓字典排序法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案． 2、 分类计数   枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举容易出现重复或者遗漏．这时就需要先把所有情形分成若干小类，再针对每一小类进行枚举． 3、 分类的基本原则：不重不漏． 4、 枚举时注意审题：判断题目“交换顺序算作两种”还是“交换顺序算作一种”． [来源:学.科.网] 知识精讲 在之前我们学习了简单的枚举法——直接把所有情况列举出来，但如果问题较为复杂，枚举很有可能产生重复或者纰漏，这时我们就可用“字典排列法“． 同学们可以翻看一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字母从A到Z排列，首字母相同的单词都在一起，在首字母相同的单词中，再按照第2个字母从A到Z的顺序排列，然后是第3个字母，第4个字母……字典排列法，就是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案． 课堂例题 [来源:Zxxk.Com] 1、 字典排列法 1、小高、墨莫、卡莉娅三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件宝物？ 【答案】 共21种情况 【解析】 这三个人分别找到的宝物数量，有如下可能的情况，所以一共有21种情况． 小高 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5 墨莫 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0 卡莉娅 5 4 3 2 1 0 4 3 2 1 0 3 2 1 0 2 1 0 1 0 0 2、老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8．如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法．试问：同学们最多能给出多少种不同的写法？ 【答案】 10种 【解析】 不妨设第一个数最小，第三个数最大，则按照第一个数最小是几，可以列出下面的情况：而当第一个数大于3时，3个数的总和至少是不符合题意了．所以最多能给出10种不同的写法． 第一个数 0 0 0 0 0 1 1 1 2 2 第二个数 0 1 2 3 4 1 2 3 2 3 第三个数 8 7 6 5 4 6 5 4 4 3 2、 分类枚举 3、如图，有7个按键，上面分别写着：1，2，3，4，5，6，7这七个数字．请问： （1）从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？ （2）从中选出2个按键，使它们上面数字的和大于9，一共有多少种选法？ 1 2 5 6 3 4 7 【答案】 （1）5种（2）6种 【解析】 （1）按键上最小的数字是1，则减数最小是1；按键上最大的数字是7，则减数最大是；因此减数共有1、2、3、4、5这5种情况，则按键共有5种取法： 减数 1 2 3 4 5 被减数 3 4 5 6 7 （2）如果选出的较小的数是1，和最大为，不满足要求． 如果较小的数是2，和最大为，不满足要求． 如果较小的数是3，和要大于9，另一个数只能是7． 如果较小的数是4，则另一个数可能是6、7． 如果较小的数是5，则另一个数可能是6、7． 如果较小的数是6，则另一个数只能是7．因此共有6种取法． 较小数 3 4 4 5 5 6 较大数 7 6 7 6 7 7 4、如图，数一数图中包含星星的长方形（包括正方形）有多少个？ ☆ 【答案】 12 【解析】 按长方形的大小分类，一格的有1个，两格的有3个，三格的有2个，四个的有3个，六格的有2个，八格的有1个．共有个． 5、午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个．小高想要挑3个水果吃．请问：小高一共有多少种选择？ 【答案】 10种 【解析】 要从苹果、香蕉、桔子这3种水果里一共挑出3个水果，那么这3个水果里可能有1种、2种或3种． 当拿出的水果都是同一种时：可以都是苹果、都是香蕉、都是桔子，总共有3种挑法． 当拿出的3个水果里有2种时，也就是一种有2个，一种有1个：苹果有2个，还有1个可以是香蕉或桔子；香蕉有2个，还有1个可以是苹果或桔子；桔子有2个，还有1个可以是香蕉或者苹果．总共有6种挑法． 当拿出的水果3种都有时，那只有苹果、香蕉、桔子各拿1个这1种挑法了． 所以一共有种选择． 6、已知甲、乙、丙三个数的乘积是12，试问甲、乙、丙三数分别可能是几？ 【答案】 18 【解析】 将12写成三个数的乘积，再依次对应到甲、乙、丙三个数．，甲、乙、丙共3种可能．，甲、乙、丙共6种可能．，甲、乙、丙共6种可能．，甲、乙、丙共3种可能．所以甲、乙、丙共种可能． 7、矮胖子、高个子、小石头、大木头四个人要排队拍照，但是只有3个位置，这四个人中选