【教培专用】三年级上册秋季数学奥数培优讲义-第12讲 等差数列应用 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第12讲 等差数列应用 三年级 秋季 知识点 1、 等差数列（进阶）应用（三上） 1. 当项数为奇数时，由和=中间项×项数可知，中间项=和÷项数．也就是说，可以通过项数与和求出一个等差数列的中间数． 2. 当项数为偶数时，可以根据和=（首项+末项）×项数÷2，算出首项与末项的和．如果再能求出首项与末项的差，便能求出首相与末项的具体数值了． 知识精讲         我们来看一下几个数列，（1）13,14,15,16,17,18,19；（2）7,10,13,16,19,22,25；（3）4,8,12,16,20,24,28；（4）10,12,14,16,18,20,22．这几个数列有什么相同点呢？这几个数列虽然都不一样，但它们的项数、和与中间数都是相同的：项数都是7，和都是112，中间数都是16．其实只要项数与和相同，中间数就肯定相同了． 课堂例题 1、 项数为奇数项 1、一个等差数列第1项为21，前7项和为105，这个数列的第10项是多少？ 21 ？ ．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．． 第1项 第2项 第7项 第10项 和105 【答案】 3 【解析】 等差数列前7项和为105，中间项为第4项，所以第4项为．这个等差数列公差为，所以第10项为． 2、11个连续自然数之和为110，其中第6个数是__________． [来源:学&科&网] 【答案】 10[来源:Z_xx_k.Com] 【解析】 11个数的中间项为第项，当项数为奇数时，，所以第6个数为． 3、已知一个等差数列的前15项之和为450，前21项之和为819．请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？ 21 ．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．． 第1项 第2项 第15项 第21项 和为450 ？ 和为819 【答案】 3，9 【解析】 等差数列前15项和为450，中间项为第8项，所以第8项为．前21项之和为819，中间项为第11项，所以第11项为．这个等差数列公差为，首项为． 4、11个连续偶数的和是1100，其中最大的数是多少？ 【答案】 110 【解析】 11个连续偶数构成公差为2的等差数列，中间项为第6项，所以第6项为，最大数为． 2、 项数为偶数项 5、把248表示成8个连续偶数的和，其中最大的偶数是__________． 【答案】 38 【解析】 当项数为8时，中间数是第4个数和第5个数之间的数．，所以第4个数为，所以最大偶数为． 6、已知一个等差数列的前15项之和为450，前20项之和为750，请问：这个数列的公差是______，首项是______． A．3，15 B．5，15 C．3，13 D．3，9 【答案】 D 【解析】 方法一：等差数列前15项的和是450，那么根据“”，得．同理，得．因此第20项与第15项的差是．显而易见，第20项与第15项之间相差5个公差，所以1个公差就是．此时第15项与第1项的差是．根据和差问题公式“”，得到数列的首项是． 方法二：等差数列前15项的和是450，根据“”得中间项（第8项）就是．又由于数列的前20项之和是750，因此数列中第16项至第20项这5个数的和就是，那么这5个数的中间项（原数列第18项）是．它们之间相差个公差，因此数列的公差是．第8项与第1项相差个公差，所以数列的首项是． 7、一个等差数列第8项为82，前7项和为490，这个数列的公差是多少？这个数列的第20项是多少？ [来源:Zxxk.Com] 【答案】 3，118 【解析】 等差数列前7项和为490，中间项为第4项，所以第4项为．公差为，第20项为． 8、已知一个等差数列的前25项之和为325，前30项之和为465．请问：这个数列的公差是多少？首项是多少？ 【答案】 1，1 【解析】 等差数列的前25项之和为325，中间项为第13项，所以第13项为．等差数列的前30项之和为465，则第26项至第30项的和为，所以第28项为．所以这个数列公差为，首项为． 3、 等差数列应用 9、在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为609．卡莉娅发现自己的分数算少了，找老师更正后，加了21分，这时他们的成绩还是一个等差数列．请问：卡莉娅正确的分数是多少？ 【答案】 99分 【解析】 一组同学的分数构成等差数列，把其中卡莉娅的分数加上21分后，这组数仍构成等差数列，那自然就知道卡莉娅的分数在原数列中是最低的，也就是首项．同理，卡莉娅更正后的分数是新数列的末项，而数列中其它各数都没有变化．因此卡莉娅的分数更正后，比原先分数最高的同学还要高3分，因此原先卡莉娅的分数比其他同学中最高分低分，即原数列的首项比末项少18．根据项数公式，得，所以这组同学有7人．因，则成绩位于中间位置的同学（第4名）得了87分．原先卡莉娅的分数比他少分，更正