2011年中考数学试题专题解析精选——开放型问题 【备战黄冈2012年中考】

学科网(ZXXK.COM)-精品系列资料 上学科网，下精品资料！ 【黄冈中考】备战2012年中考数学——开放型问题的押轴题解析汇编一 开放型问题 1、（2011山西，14，3分）如图、四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件： 可使它成为矩形。 【解题思路】要使一个平行四边形是矩形有两个方法：1、一个角是90°，2、对角线相等。 【答案】∠ABC=90°或者AC=BD。 【点评】本题主要考察矩形的判定，可以从对角线和角两个方面来考虑。难度较小。 学科网-精品系列资料 版权所有@学科网 _1144138919.psd _1144138934.psd $$ 学科网(ZXXK.COM)-精品系列资料 上学科网，下精品资料！ 【黄冈中考】备战2012年中考数学——开放型问题的押轴题解析汇编二 开放型问题 1. （2011湖北荆州，19，7分）（本题满分7分）如图，P是矩形ABCD下方一点，将 绕P点顺时针旋转 后恰好D点与A点重合，得到 ,连接EB，问 是什么特殊三角形？请说明理由. 【解题思路】根据旋转及矩形的性质可知AE＝CD＝AB，可得等腰 ，进一步由旋转角是 ，猜想此三角形可能是等边三角形. 【答案】解：△ABE是等边三角形.理由如下：……………………1分 由旋转得△PAE≌△PDC ∴CD=AE，PD=PA,∠1=∠2………………………………3分 ∵∠DPA=60°∴△PDA是等边三角形………………………………4分 ∴∠3＝∠PAD＝60°. 由矩形ABCD知，CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°. ∴∠1＝∠4＝∠2＝30°………………………………6分 ∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠2+∠4＝60°, ∴△ABE为等边三角形 ………………………………7分 【点评】此类试题是猜想与证明两部分组成，解答时，首先是猜想结论，即同学们根据自己学过的知识经过严格合理地推理，得出一个正确的判断；然后证明，就是根据题目的要求，把从题设到推出某个结论的过程完整地叙述出来. 2. （2011湖北襄阳，25，10分）如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PO并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF． （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当 的值等于多少时，△PFD～△BFP？并说明理由． 【解题思路】解决（1）（2）两问，由旋转发现∠DPE＝90°，DP＝PE，进而构造全等三角形是关键；（3）可由△PFD～△BFP产生比例线段，再结合△ADP～△BPF思考． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP+∠APD＝90°． ∵∠DPE＝90°，∴∠APD+∠EPB＝90°， ∴∠ADP＝∠EPB． （2）如下图，过E点作EG⊥AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90°． 又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP． ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG． ∴AP＝EG＝BG． ∴∠CBE＝∠EBG＝45°． （3）法1：当 ＝ 时，△PFD～△BFP． ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF， ∴△ADP～△BPF． 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝ a，∴BF＝BP× ＝ a． ∴PD＝ ＝ a，PF＝ ＝ a．∴ ＝ ＝ ． 又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△PFD～△BFP． 法2：假设△PFD～△BFP，则 ＝ ． ∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP～△BPF． ∴ ＝ ． ∴ ＝ ． ∴PB＝AP．∴ ＝ 时，△PFD～△BFP． 【点评】本题属于直线形几何综合问题，主要考查了正方形，全等三角形，相似三角形，勾股定理等知识．（1）问简单基础，学生普遍会做；（2）问由E点作AB的垂线是较为简捷的思路；（3）是条件开放探究性问题，解决时需要“执果索因”，从后向前思考．难度较大． 25．（2011四川乐山，25，12分）如图（14.1）,在直角△ABC中, ∠ACB=90 ,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数). 试探究线段EF与EG的数量关系. (1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是 证明: (2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF