三年级上册数学奥数讲义 第2讲三年级秋季等差数列（一） 全国通用 2份打包 含答案

秋季 第2讲 等差数列（一） 重点摘要 像1、2、3、……、99、100这样按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的一项，各项依次叫做这个数列的第一项（也叫做首项，如1），第二项，第三项，……，而把最后一个数叫做这个数列的末项（如100）。这串数的个数，叫做项数。 另外，数列1、2、3、……、99、100还有这样一个特点；从2开始，每一个数都与它前面一个数相差1，像这样从第二项起每一项与它前一项的差都等于同一个数，这个数我们把它叫做这个数列的公差；这个数列就叫做等差数列。 在这一讲中，我们需要掌握几个公式： (1)项数＝（末项－首项）÷公差＋1； (2)某一项＝首项＋公差×（项数－1）。 精讲精练 例题1、下面的数列是否是等差数列？如果是，每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？ （1）1，2，3，4，5，…，99，100 （2）1，3，5，7，9，…，97，100 （3）8，15，22，29，…，64，71 解：(1)是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列； (2)是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列； (3)是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。 例题2、数列5，7，9，……39，41共有多少项？ 解：求项数。项数=（41-5）÷4+1=10 例题3、（1）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为23，求末项是多少？ （2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，求首项是多少？ 解：求末项：（1）23＋（13－1）×2=47； （2）125＋（13－1）×7=209； 例题4、计算： （1）2+4+6+8+10+12 （2）5+10+15+20+25+30+35+40 （3）1+5+9+13+17 （4）2+7+12+17+22+27+32+37+42 解：偶数项的等差数列求和，我们可以采用彩虹法，如下： （1），发现第一项与最后一项搭配，第二项与倒数第二项搭配，……，依次类推，每组两个数，每组的和都相等，均2+12=14，一共有6÷2=3（组），总和为14×3=42。 （2），两个数一组，每组的和为5+40=45，一共有8÷2=4（组），总和为45×40=1800。 奇数项的等差数列求和，采用彩虹法，如下 （3）发现中间数落单，而每组的和相等且是中间数的两倍，因此原式也可表示为，即和为9×5=45。 （4），可转换为，即和为22×9=198。 小结：奇数项等差数列求和公式为：中间项×项数，而中间项=（首项+末项）÷2，故奇数项的等差数列求和公式为=（首项+末项）÷2×项数。不难发现，不论是奇数项还是偶数项的等差数列，它们的求和公式都可经过适当的调整，最后转换成=（首项+末项）×项数÷2。 跟进练习 1、判断下面的数列中，哪些是等差数列？ a：6，10，14，18，22，……； b：1，2，1，2，3，4，5，……，99，100； c：1，2，4，8，16，32，64； d：9，8，7，6，5，4，3，2，1； e：2011，2011，2011，2011，2011，2011； f：1，0，1，0，1，0，1，0，1。 解：数列a中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差都是4，所以符合等差数列的定义，所以该数列是等差数列，且公差为4。 数列b中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差不为同一个常数，所以不符合等差数列的定义，所以该数列不是等差数列。 数列c中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差不为同一个常数，所以不符合等差数列的定义，所以该数列不是等差数列。 数列d中，我们可以发现从第二项开始，前一个数减后一个数的差都是1，所以符合等差数列的定义，所以该数列是等差数列，且公差为1。 数列e中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差都是0，所以符合等差数列的定义，所以该数列是等差数列，且公差为0。 数列f中，我们可以发现从第二项开始，后一个数减前一个数的差不为同一个常数，所以不符合等差数列的定义，所以该数列不是等差数列。 2、计算下列数列的项数： （1）5 ， 7 ， 9 ， ……，39 ，41 （2）2 ， 6， 10 ， ……，86 ，90 解：（1）项数：（41-5）÷2+1＝19； （2）项数：（90-2）÷2+1＝45； 3、有一串数是按规律排列的：2、5、8、11、14、…，这串数的第21项是多少？ 解：求末项。2＋（21－1）×3=62； 4、求下列数列的和： （1）1＋2＋3＋4＋……＋99＋100 ； （2）8＋9＋10＋11＋12； （3）2＋5＋8＋11＋14＋17＋20。 解：（1）利用数对求和：原式=1＋2＋3＋4＋……＋99