6.1.4.1 圆锥的体积-【润知教育】六年级数学下册知识点文本（北师大版）

6.1.4.1圆锥的体积 【知识回顾】 1.圆柱体积公式有：V＝Sh=πr2h=π(d/2)2h＝π(C/2π)2h。 2.圆柱形容器的容积＝底面积×高，用字母表示是V＝Sh。（容器的厚度忽略不计） 3.应用题中运用圆柱体积公式时，应注意分实心与空心两种情况。 【知识讲解】 【知识点】圆柱与圆锥的关系 准备等底等高的圆柱体容器和圆锥体容器各一个，在圆锥体容器里装满沙土（用直尺将多余的沙土刮掉），倒入圆柱体容器里．我们可以发现：倒了三次，正好装满．所以可得： 圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体体积的3倍； 或者说圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的 ． 所以我们可以推断出;一个圆柱和一个圆锥体积相等，底面积也相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍，圆柱的高是圆锥高的。 【要点解读】 1. 圆锥只有一条高。 2.圆锥的体积＝ ×底面积×高。 3.如果用V表示圆锥的体积，S表示底面积，h表示高，则字母公式 为：V=Sh。 4. 圆锥体积公式的应用： （1）求圆锥体积时，如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用“v= Sh”这一公式。 （2）求圆锥体积时，如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用v=πr2h （3）求圆锥体积时，如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用v=π（d/2）2h （4）求圆锥体积时，如果题中给出底面周长和高这两个条件，可以运用v=π（c/2r）2h 【牛刀小试】 1. 圆柱和圆锥的体积相等， 高也相等． 那么， 圆柱的底面积是圆锥底面积的( ）（选择题） A、 3 倍 B、 9 倍 C、 【思路点拔】圆柱和圆锥的体积相等，高也相等。那么，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 2. 正方体、 长方体、 圆柱体、 圆锥的体积都等于底面积乘高． （判断对错） A、 正确 B、 错误 【思路点拔】正方体体积=底面积×高，长方体体积=底面积×高，圆柱体体积=底面积×高，因锥体体积=×底面积×高.，据此即可得出答案。 3.右图是一个铜制的铅锤， 俗称线垂(坠)， 这是一种检验垂直度的工具． 比如， 砌砖时， 工人用铅锤来检查自己砌的墙是否垂直地面． 如果铅锤的底面直径是 5cm， 高 7cm，做一个 这样的铅锤需要用______立方厘米的材料。（结果保留两位小数） 【思路点拔】圆锥的体积=×底面积×高，由此根据圆锥的体积公式列式计算求出体积即可。 【解析】 1.假设圆柱和圆锥的体积是V，高是h，则圆柱的底面积是：V/h，圆锥的底面积是:（3v）/h，（V/h）/（3v）/h= 故答案为：C。 2.解：由分析知：正方体，长方体、圆柱体都可以用它们的底面积乘高求得体积，而圆锥体体积用底面积乘高，还需再乘上才能求得它的体积，所以题干说法错误 故答案为：错误 3. 3.14×(5÷2)2×7× =3.14×6.25×7× =137.375× ≈45.79(立方厘米) 故答案为:45.79 【拓展学习】 1.圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的（3倍 ）； 2.圆锥的体积是和它等底等高的圆柱体积的（三分之一 ）； 3.圆柱的体积比和它等底等高的圆锥体积多（ 2倍 ）； 4.圆锥的体积比和它等底等高圆柱的体积少（三分之二 ）； 【牛刀小试】 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等,体积也相等.圆柱的高是1.2分米,圆锥的高是( )分米. A 0.4 B 3.6 C 1.2 D 0.6 【解析】B 【典型例题】 一个底面直径为 20 厘米的圆柱形容器中装有水， 将一个底面直径为 10 厘米的圆柱铁锤完全没入水中， 水面上升了 1 厘米， 求铁锤的高。 【思路点拔】在一个底面直径为 20cm 的圆柱容器中装有水， 将一个底面直径是 10cm 的圆柱体铁锤放入水中， 大圆柱容器水位升高部分的体积就是小圆柱体铁锤的体积。 小锤的体积除以底面积便是小锤的高。 【解析】3. 14×（20÷2）2 ×1=314（立方厘米） 314÷[3. 14×（10÷2）2]=4（厘米） 答： 铁锤的高是 4 厘米。 【知识小结】 通过本节利用实验的方法学习圆柱与圆锥存在的关系，理解圆锥体体积计算公式的推导过程．掌握了求圆锥体积的计算公式。 $$