【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第二讲 数的变化规律（一） 人教版（含答案）

第二讲 数的变化规律（一） 第一部分：趣味数学 缺“8”数 “缺8数”――12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。 　　清一色菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是8，却是7。于是有人对他说：“总统先生，你不是挺喜欢7吗？拿出你的计算器，我可以送你清一色的7。”接着，这人就用“缺8数”乘以63，顿时，777777777映入了马科斯先生的眼帘。 　　“缺8数”实际上并非对7情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的数都“一视同仁”的：你只要分别用9的倍数（9，18……直到81）去乘它，则111111111，222222222……直到999999999都会相继出现。 　　三位一体“缺8数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿3的倍数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如： 　　12345679×12=148148148 　　12345679×15=185185185 　　12345679×57=703703703 　　轮流“休息”当乘数不是3的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中缺3、缺6、缺9的情况肯定不存在。 　　让我们看一下乘数在区间[10～17]的情况，其中12和15因是3的倍数，予以排除。 　　12345679×10=123456790（缺8） 　　12345679×11=135802469（缺7） 　　12345679×13=160493827（缺5） 　　12345679×14=172869506（缺4） 　　12345679×16=197530864（缺2） 　　12345679×17=209876543（缺1） 　　乘数在[19～26]及其他区间（区间长度等于7）的情况与此完全类似。 　　乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不能多吃多占，真是太有趣了！ 一以贯之当乘数超过81时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子： 　　（1）乘数为9的倍数 　　12345679×243=2999999997，只要把乘积中最左边的一个数2加到最右边的7上，仍呈现“清一色”。 　　（2）乘数为3的倍数，但不是9的倍数 　　12345679×84=1037037036，只要把乘积中最左边的一个数1加到最右边的6上，又可看到“三位一体”现象。 　　（3）乘数为3k+1或3k+2型 　　12345679×98=1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的2，但据上所说，只要把乘积中最左边的数1加到最右边的2上去之后，所得数为209876543，是“缺1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到1休息，结果与理论完全吻合。 　　走马灯冬去春来，24个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全不变，表现为周期性的重复。“缺8数”也有此种性质，但其乘数是相当奇异的。 　　实际上，当乘数为19时，其乘积将是234567901，像走马灯一样，原先居第二位的数2却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数成一个公差等于9的算术级数时，出现“走马灯”现象。例如： 　　12345679×28=345679012 　　12345679×37=456790123 　　回文结对携手同行“缺8数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴趣，人们偶然注意到： 　　12345679×4=49382716 　　12345679×5=61728395 　　前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数吗？（但有微小的差异，即5代以4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有之义。） 　　这样的“回文结对，携手并进”现象，对13、14、22、23、31、32、40、41等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于9）也应如此。例如： 　　12345679×67=827160493 　　12345679×68=839506172 　　遗传因子“缺8数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，完全承袭上面的这些特征，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖12345679具有同样的本领。 　　例如，506172839是“缺8数”与41的乘积，所以它是一个衍生物。 　　我们看到，506172839×3=1518518517。 　　如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。 和、差的规律见下表（m≠0） 一个加数（a） 另一个加数（b） 和（c） ±m 不变 ±m 不变 ±m ±m ±m m 不变 被减数（a） 减数（b） 差（c） ±m 不变 ±m 不变 ±m