【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第一讲 尾数和余数 人教版（含答案）

第一讲 尾数和余数 第一部分：趣味数学 兄弟分绢 今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢不知匹数。大兄谓二弟曰：“我得汝等各半，得满七点九匹。”中弟日：“我得兄弟绢各半，得满六点八匹。”小弟日：“我得二兄绢各半，得满五点七匹。”问兄弟本持绢各几何?——摘自《张邱建算经》。 据考证《张邱建算经》成书时代是在5世纪中期，是北魏时期数学家张邱建著。《张邱建算经》卷中之尾卷下之首残缺，流传到现在的有92个问题，内容继承了《九章算术》的数学遗产，另外还有等差级数问题、最大公约数和最小公倍数应用问题。卷下最后一题是有名的百鸡问题，是中国数学史上最早出现的不定方程问题。 赏析：有兄弟三人，各有绢若干匹。大哥对两个弟弟说：“我得到你俩每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起就有7.9匹。”二哥对大哥和三弟说：“我得到兄绢的一半，弟绢的一半，与我有的绢合在一起是6.8匹。”三弟对两个哥哥说：“我得到两个哥哥每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起是5.7匹。”问兄弟三人原来各有绢多少匹? 分析：7.9匹包括大哥的绢全部+二哥绢一半+三弟的绢一半； 6.8匹包括大哥的绢一半+二哥绢全部+三弟的绢一半； 5.7匹包括大哥的绢一半+二哥绢一半+三弟的绢全部； 那么，7.9+6.8+5.7就包括大哥的绢2倍+二哥绢2倍+三弟的绢2倍； 所以，三兄弟绢的总数为（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）， 而7.9 × 2就包括大哥的绢2倍+二哥绢全部+三弟的绢全部 7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）……大哥的绢数。 同理： 6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）……二哥的绢数。 5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）……三弟的绢数。 解答：（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹） 7.9 × 2－10.2＝5.6（匹） 6.8 × 2－10.2＝3.4（匹） 5.7 × 2－10.2＝1.2（匹） 第二部分：奥数小练 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】 写出除213后余3的全部两位数。 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42。一共有7个两位数。 练习一： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是3。适合条件的两位数有哪些？ 3. 写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】 （1）125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习二： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。 （2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1。余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。 练习三： 1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ 2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？ 3.94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？ 【例题4】 把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 【思路导航】因为≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循