【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第十四讲 组合图形的面积（一） 人教版（含答案）

第十四讲 组合图形的面积（一） 第一部分：趣味数学 等腰三角形面积 今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？ 赏析：圭田就是等腰三角形。最早的文字记载见于《九章算术》“方田”章。“圭田术曰：半广以乘正从。”也就是说，三角形的面积等于高与底边边长乘积的一半。刘徽注称：“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。”即如图根据“出入相补”原理、采用“以盈补虚”的方法将三角形化为与之等积的长方形，再利用“方田术”计算其面积。 解答：根据三角形的面积 =底×高÷2得出： 12×21÷2 =252÷2 =126（步） 可见我们的古人与我们现在研究平面图形面积的方法类似，都是利用转化思想，把三角形和梯形转化成我们熟悉的长方形再进行面积计算。不同的是《九章算术》中记载的是特殊的三角形即直角三角形，特殊的梯形即直角梯形，今天我们已在此基础上把它们推广到了普通的三角形与梯形。 第二部分：奥数小练 一、知识要点 在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点： 1.两个三角形等底、等高，其面积相等； 2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系； 3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。 二、精讲精练 【例题1】 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要连接AC，显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。面积是：6×3÷2=9平方厘米。 练习一： 1.求下图（1）中阴影部分的面积。 2.求图（2）中阴影部分的面积。（单位：厘米） 3.下图（3）的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。 图（1） 图（2） 图（3） 【例题2】 下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。 【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以，三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。 练习二： 1.下图（1）中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。 图（1） 图（2） 图（3） 2.图（2）中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。 3.图（3）中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。 【例题3】 两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 【思路导航】1.因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。 2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO的长度是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。 练习三： 1.如下图，图（1）中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 2.下图（2）的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？ 3.下图（3）梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？ 图（1） 图（2） 图（3） 【例题4】 在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。 【思路导航】（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面积是三角形ADE面积的4倍，是20×（1＋3）=80平方厘米； （2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD的面积是三角形ADC面积的一半，是80÷2=40平方厘米。因此，三角形ABC的面积是80＋40=120平方厘米。 练习四： 1.把下图（1）三角形的底边BC四等分，在下面括号里填上“＞”、“＜”或“=”。 甲的面积（ ）乙的面积。 2.如图（2），在三角形ABC中，D是BC的中点，E、F是AC的三等分点。已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE的面积。 3.下图（3）中，BD=