【精品奥数】五年级下册数学思维训练讲义-第十一讲 整除 人教版（含答案）

第一讲 整除 第一部分：趣味数学 完 全 数 　 这天，聪聪和笨笨写完作业后，贾伯伯又开始给他们讲数学的故事。“今天我们讲的是‘完全数’……”　 “完全数？数还有不完全的？那不完全的数是不是就是一半的呢？”笨笨问。 “哼，当然不是啦，哪有这么简单的！”不等贾伯伯开口，聪聪就抢先说。 “哦，那你说呢，什么是完全数呢？”贾伯伯问聪聪。 　“嗯…就是…就是…就是整个的数吧？”聪聪试探着说。 　“当然也不是啦！”贾伯伯说。聪聪不好意思地低下了头。贾伯伯继续向他们讲着“完全数”的概念。 　“什么是‘完全数’呢？就是说，如果一个自然数正好等于除去它本身以外所有的因数之和，这个自然数就叫‘完全数’。那，你们说，什么数符合这样的要求呢？” 　　聪聪和笨笨想了想，笨笨先迟疑地说：“6……是吧！” 　　贾伯伯笑着说：“你怎么知道是6呢？” 　　笨笨大着胆子说：“因为6除了它自己，还有1、2、3三个因数，而1+2+3，正好就是6，就像您刚才说的，三个因数的和正好等于它自己。” 　　贾伯伯赞许地说：“笨笨答对了！6就是最小的完全数。除了6以外，28也是完全数，你们看，28除了自己之外，还有1、2、4、7、14五个因数，1+2+4+7+14，不也是28了吗？”笨笨和聪聪互相看看，都觉得这个“完全数”挺有意思。聪聪问：“那还有多少这样的‘完全数’呢？” 　　贾伯伯说：“两千多年前，人们就发现了6和28这两个完全数；后来，又发现了496和8128这两个数，也是完全数。可是又过了一千多年，才又发现了第五个完全数，这个数就是33550326。” 　　笨笨说：“真不容易呀！” 　　贾伯伯说：“后来的三百多年，人们又找出了4个完全数，第九个完全数已经有37位了。后来有了电子计算机，人们在找完全数，就方便多了，到 现在，总共找到了33个完全数，有的完全数已经有五百多位了呢！” 　　“那，还有更大的完全数吗？”聪聪问。 　　贾伯伯笑了：“完全数到底是有限的还是无限的，这个问题嘛，现在还没有解决，连数学家也不知道，再比如，已经发现的33个完全数都是偶数，有没有奇数的完全数？这个也还没有答案呢！” 完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的因数）的和，恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因数之和，则称该数为“完全数”。 例如： 第一个完全数是6，它有因数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。 第二个完全数是28，它有因数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。 第三个完全数是496，有因数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。 后面的完全数还有8128、33550336等等。 第二部分奥数小练 【例题1】能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 【思路导航】例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数。又因为64是4的倍数，所以1864能被4整除。但因为64不是25的倍数，所以1864不能被25整除。 练习一：1.1752里有没有因数4？ 2.3525能被4（或25）整除吗？ 3.6728能被4（或25）整除吗？ 【例题2】能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 【思路导航】例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数。又因为375是125的倍数，所以29375能被125整除。但因为375不是8的倍数，所以29375不能被8整除。 练习二：1.18520里有没有因数8？ 2.59786能被8（或125）整除吗？ 3.234780能被8（或125）整除吗？ 【例题3】判断47382能否被3或9整除？ 　　【思路导航】 能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。 　　 47382能被3整除，不能被9整除 练习三：1.把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？　　 2.四位数36AB能同时被2、3、4、5、9整除，则A=　　 B=　　　 ？ 3.173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能 被9、11、6整除，先后填入的3个数分别是几？ 【例题4】能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 　　【思路导航】例如：判断123456789这九位数能否被1