【精品奥数】五年级下册数学思维训练讲义-第十二讲 质数和合数 人教版（含答案）

第二讲　　　质数和合数 第一部分：趣味数学 亲和数 若自然数M的全部正因子（去掉其本身）之和，恰为自然数N，而N的全部正因子（去掉其本身）之和恰为自然数M，则称M、N为一对亲和数。最简单的一对亲和数是220和284，把220的全部正因数（不包括220本身）加起来为　　1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284而把284的全部正因数（不包括284本身）加起来为1＋2＋4＋7l＋142＝220想不到枯燥的数字之间也有这种“我中有你，你中有我”的亲密无间关系。在毕达哥拉斯时代就知道有这一对亲和数。当时人们认为只有这一对亲和数，一直延续了两千多年，人们对此坚信不移。直到1636年皮勒发现并公布了第二对亲和数17296和18416，这才破除了只有一对亲和数的迷信，也激发起了人们寻找更多亲和数的热情。 大数学家欧拉在1750年，一口气向公众宣布了60对亲和数，使人大吃—惊，人们认为对亲和数的研究已达顶峰了。然而，在1866年，一个年仅16岁的青年巴格尼却令人惊讶地发现了1184与1210是一对亲和数，它们仅比220和284稍大一些。原来数学家也将近在身边的第二对亲和数遗漏了。如今，人们已经发现了1200对亲和数。电子计算机出现后，人们可以用高速度大容量的计算机去探索更多的亲和数。人们现在已知最大的一对亲和数是111448537712和118853793424，要把它们的因数找出来再求和，推证它们之间的关系，没有现代计算机工具的帮助是很困难的。 第二部分：奥数小练 【例题1】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 　　【思路导航】210=2×3×5×7 可知这三个数是5、6和7。 练习一1. 一个质数是两位数，个位和十位上的数的和是11，并且这个质数的十位上是最小的质数，这个两位数是多少? 2.A和B都是质数，A+B小于50且是7的倍数，如果A+B又是奇数，那么A ×B可能是多? 3. 边长为自然数，面积为105的形状不同的长方形共有多少种？ 【例题2】 两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？ 　　【思路导航】把40表示为两个质数的和，共有三种形式： 　　40=17+23=11＋29=3+37。 　　17×23＝391＞11×29＝319＞3×37＝111。 　　所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是391。 练习二：1.三个不同质数的和是82，这三个质数的积最大是多少? 2. 乐乐家的电话号码是一 个七位数，它恰好是几个连续质数的积，且这个积的末四位数是前三位数的10倍，你知道乐乐家的电话号码是多少吗? 3. 若将17拆成若干个质数之和，使得这些质数的乘积尽可能大，那么这个最大的乘积是多少？ 【例题3】自然数123456789是质数，还是合数？为什么？ 　　【思路导航】123456789是合数。 因为它除了有约数1和它本身外，至少还有约数3，所以它是一个合数。 练习三1.11112222个棋子排成一个长方阵.每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个。这个长方阵每一横行有多少个棋子？ 2. 五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。 3. 甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。甲说：“两个质数之和一定是质 数。"乙说：“两个质数之和一定不是质数。"丙说：“两个质数之和不一定是质数。他们当中，谁说的对? 【例题4】连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 　　【思路导航】如果这连续的九个自然数在1与20之间，那么显然其中最多有4个质数（如：1～9中有4个质数2、3、5、7）。 　　如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5个。这5个奇数中必只有一个个位数是5，因而5是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数.这样，至多另4个奇数都是质数。 　　综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。 练习四：1.一个长方形的长和宽都是质数，并且周长是36厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米? 2. 有九个连续自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个？ 3.有3个自然数a、b、c.已知a×b=6，b×c=15，a×c＝10.求a×b×c是多少？ 【例题5】 把5、6、7、14、15这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。 　　【思路导航】5=5，7=7，6=2×3，14＝2×7，15=3×5， 　　这些数中质因数2、3、5、7各共有2个，所以如把14（=2×7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（＝3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。 　　这样14×15=210=5×6×7。 这五个数可以分为14和15，5、6和7两组。 练习五1.有