【精品奥数】五年级下册数学思维训练讲义-第十六讲 长方体和正方体（三） 人教版（含答案）

第三讲 长方体和正方体（三） 第一部分：趣味数学 量身定做锦盒 太平兴国元年，宋太宗赵光义继位。他命人将玉玺加高了2厘米，玉玺由原来的长方体正好变成了正方体。 就在辽国使臣觐见的前一天，玉玺造成了，但是原来盛装玉玺的锦盒不符合要求了。工匠们还没来得及制作好新的锦盒，玉玺已经被送进皇宫，因为第二天早上使臣觐见的时候需要用到玉玺。如果没有用合适的锦盒装玉玺，皇帝大怒，一群工匠估计都会掉脑袋的。工匠们个个急得满头大汗。 就在工匠们绞尽脑汁想办法的时候，宰相吕端来视察，看到大家着急，便详细询问了情况。一个年长的工匠慢慢回忆说：“我只记得将玉玺加高了2厘米，正好将长方体变成了正方体。对了，我后来仔细量了量，多出来的表面积好像是72平方厘米。” 吕宰相听后对大家说：“大家放心，我已经知道你们改造以后的玉玺的尺寸了。” 大家一头雾水，一下子都围在吕宰相周围，都想知道究竟正方体玉玺的相关数据是多少。 “不着急，大家听我说。我们从这个多出来的部分入手。多出来的部分就是一个小长方体，它的长和宽就是原来玉玺的长和宽。增加了2厘米后，原来的玉玺就成为了一个正方体，说明原来长方体的底面就是一个正方形，底面上的长和宽一样长。再往上增加了2里米，可见增加的这个4个面的大小都是一样的。每个面的大小就是72÷4＝18平方厘米，又知道这个增加部分的长方形的宽是2厘米，所以长方形的长也就是这个长方体的底面边长是18÷2＝9厘米。所以改造以后的玉玺的棱长应该就是9厘米，原来玉玺的长和宽都是9厘米，高是7厘米。” 大家听后恍然大悟，连夜按照吕宰相算出的尺寸赶制了合适的锦盒来盛装玉玺，避免了皇帝的盛怒，保住了自己的性命。 第二部分：奥数小练 【例题1】 一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长为2厘米的正方体若干块，表面积增加多少厘米？ 【思路导航】把棱长为6厘米的正方体锯成棱长为2厘米的正方体，可以按下图中的线共锯6次，每锯一次就增加两个6×6=36平方厘米的面，锯6次共增加36×2×6=432平方厘米的面积。因此，锯好后表面积增加432平方厘米。 练习1： 1.把27块棱长是1厘米的小正方体堆成一个大正方体，这个大正方体的表面积比原来所有的小正方体的表面积之和少多少平方厘米？ 2.有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，表面积增加多少平方米？ 3.把一个正方体的六个面都涂上红色，然后把它锯两次锯成4个同样的小长方体，没有涂颜色的面积是60平方厘米。求涂上红色的面积一共是多少平方厘米？ 【例题2】 有一个正方体木块，把它分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少平方厘米？ 【思路导航】把正方体分成两个长方体后，增加了两个面，每个面的面积是24÷2=12平方厘米，而正方体有6个这样的面。所以原正方体的表面积是12×6=72平方厘米。 练习2： 1. 把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 2.有一个正方体木块，长4分米、宽3分米、高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？ 3.有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米、宽4厘米、高2厘米， 现把三块积木拱成一个大的长方体，怎样搭表面积最大？最大是多少平方厘米？ 【例题3】 有一个正方体，棱长是3分米。如果按下图把它切成棱长是1分米的小正方体，这些小正方体的表面积的和是多少？ 想一想：在切的过程中，每切一切，就会增加两个3×3平方分米的面，你能用这种思路来计算所求问题吗？ 练习3： 1.用棱长是1厘米的小正方体摆成一个稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体？如果要摆一个棱长是6厘米的正方体，需要多少个小正方体？ 2.有一个长方体，长10厘米、宽6厘米、高4厘米，如果把它锯成棱长是1厘米的小正方体，一共能锯多少个？ 3.把24个棱长是1厘米的小正方体摆成一个长方体，这个长方体的表面积至少是多少平方厘米？ 【例题4】 一个正方体的表面涂满了红色，然后如下图切开，切开的小正方体中： （1）三个面涂有红色的有几个？ （2）二个面涂有红色的有几个？ （3）一个面涂有红色的有几个？ （4）六个面都没有涂色的有几个？ 【思路导航】按题中的要求切，切成的小正方体一共有3×3×3=27个。 （1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，共有8个； （2）二个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，共有1×12=12个； （3）一个面涂有红色的小正方体在大正方体的六个面上，共有1×6=6个； （4）六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有27－（8＋12＋6）=1个。 练习4： 1. 把一个棱长是5厘米的正方体的六个面涂满红色，然后切成1立方厘米