四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第十一讲 简单的幻方及其他数阵图（例题解析版）全国通用

第十一讲 简单的幻方及其他数阵图 　　有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方. 　　据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”. 　　洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. 　　一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. 　　杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释. 　　九子排列 上、下对易 左右相更 四维挺出 　　怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数. 　　下面我们就来介绍一些简单的幻方. 例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等. 　　分析 为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示. 　　解答这个题目，可以分三步解决： 　　①先求出每行、每列三个数的和是多少？ 　　②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？ 　　③最后试填其他方格里的数. 　　∵A+B+C+D+E+F+G+H+I 　　=1+2+3+4+5+6+7+8+9 　　=45. 　　∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15. 　　∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15. 　　∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E 　　=（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F） 　　=15X4. 　　45+3E=60 　　3E=15 　　E=5. 　　这样，正中央格中的数一定是5. 　　由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同. 　　因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则