四年级下册数学试题-奥数专题讲练：第四讲 组合（例题解析版）全国通用

第四讲 组合 　　日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题. 　　例如 某客轮航行于天津、青岛、大连三个城市之间.那么，船票共有几种价格（往返票价相同）？ 　　注意到由天津到青岛的票价与从青岛到天津的票价是一样的，所以问题实际上就是计算从三个城市中取两个城市，有多少种不同的取法，即这时只与考虑的两个城市有关而与两个城市的顺序无关. 　　由枚举法知，共有下面的三种票价： 　　天津←→青岛 　　青岛←→大连 　　大连←→天津 　　我们把研究对象（如天津、青岛、大连）看作元素，那么上面的问题就是从3个元素中取出2个，组成一组的问题，我们把每一组叫做一个组合，把所有的组合的个数叫做组合数，上面的问题就是要求组合数. 　　一般地，从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 　　由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合. 　　从n个不同元素中取出m个元素（m≤n）的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的组合数.记作Cmn. 　　如上面的例子，就是要计算从3个城市中取2个城市的组合数C23，由枚举法得出的结论知：C23＝3. 　　那么它是怎样计算出来的呢？ 　　从第三讲开头的例子，即准备天津、青岛、大连三个城市之间的船票的问题发现，这个问题实际上可以这样分两步完成：第一步是从三个城市中选两个城市，是一个组合问题，由组合数公式，有取C23法.第二步是将取出的两个城市进行排列，由全排列公式，有P23种排法，所以，由乘法原理得到P23＝C23×P23.故有： 　　C23＝P23÷P22＝（3×2）÷2＝3. 　　 　　一般地，求从n个不同元素中取出m个元素排成一列的排列数Pmn可以分两步求得： 　　第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有Cmn种方法； 　　第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有Pmm种排法. 　　故由乘法原理得到： 　　Pmm＝Cmn•Pmm种 　　因此 　　 　　这就是组合数公式. 例1 计算