四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第十讲 有趣的数阵图（二）（例题解析版）全国通用

第十讲 有趣的数阵图（二） 　　下面我们继续研究有关数阵图的问题. 例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值填出数阵. 　　分析 为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7. 　　∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D. 　　3S=28+2B+A+C+D. 　　如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数 　　 　　即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4 　　W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4， 　　综上所述，得出： 　　13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数. 　　本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、 F=6、 G=7. 　　注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数” S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）. 　　二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了. 　　解： 例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等. 　　分析 观察右图，我们发现： 　　①有3条路，每条路上有4个数，且4个数相加的和要相等. 　　②图形两端的两个数是三条路的公共起点和终点.因此只要使三条路上其余两个数的和相等，就可以确保每条路上的四个数的和相等. 　　③20以内的质数共有8个，依次是2、3、5、7、11、13、17、19.如果能从这八个数中选出六个数凑成相等的三对数，问题就可迎刃而解.如要分析，设起点数为X，终点数为y，每条路上4