四年级上册数学思维讲义 新定义运算 人教版（无答案）

细节决定成败，细心赢得未来！ 新定义运算 一、新知识点讲解 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被我们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 新定义运算是用某些特殊的符号，表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的运算。在定义新运算中的※，〇，△……与＋、－、×、÷是有严格区别的。解答定义新运算问题，必须先理解先定义的含义，遵循新定义的关系式把问题转化为一般的＋、－、×、÷运算问题。 典型例题 例【1】 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 【分析】 A*B结果是这样计算出来：先计算A＋3B的和，再计算A＋B的和，最后两个和求乘积。 解：由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4） 【分析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解：由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 【轻松练习】 1、如果a△b表示（a-2）×b,例如3△4=(3-2)×4=4,那么,当a△5=30时, a= . 2、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。　求12*4的值。 　 3、对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。求8*9的值。 例【3】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 【分析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解： 将1、3、5、x代入新定义的运算得： 2×1×3－5＋x＝1＋x， 又根据已知< 1、3、5、x >＝7， 故1＋x＝7，x＝6。 例【4】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] 【分析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例【5】 如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（5※3）×5。 分析 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。 解 （5※3）×5。 ＝（5＋55＋555）×5 ＝3075 练习题： 1、规定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= . 2、如果1※4=1234, 2※3=234, 7※2=78, 那么4※5= . 3、设a,b为自然数,定义a※b如下:如果a≥b,定义a※b=a-b,如果a <b,则定义a※b= b- a；计算:(3※4)※9。 4、已知※满足4※1＝15,5※4＝21,4※5＝11,8※16＝48，那么10※9＝（　　）。 5、已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。 7、表示两个数,规定新运算“※”及“○”如下:※,○.求(3※4)○5的值. 拓展题 例【6】 对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（ab）。比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。 　　 （1）求12☆21的值； 　　 （2）已知6☆x=27，求x的值。 　　 解：（1）12☆21=[12，21]-（12，21）=84-3=81； （2）因为定义的新运算“☆”没有四则运算表达式，所以不能直接把数代入表达式求x，只能用推理的方法。因为6☆x=[6，x]-（6，x）=27，而6与x的最大公约数（6，x）只能是1，2，3，6。所以6与x的最小公倍数[6，x]只能是28， 29， 30， 33。这四个数中只有 30是 6的倍数，所以 6与x的最小公倍数和最大公约数分别是30和3。因为a×b=[a，b]×（a，b），所以6×x=30×3，由此求得x=15