【精品奥数】五年级下册数学思维训练讲义-第一讲 分数的加减巧算 人教版（含答案）

第一讲 分数的加减巧算 第一部分：趣味数学 阿凡提巧治坏地主 有一天，阿凡提骑着自己的小毛驴来到田边。 他四处欣赏着美丽的田园风光。突然，听到有人叫 他，回头一看，原来是两位给地主巴依老爷干活的 佃农。阿凡提忙问：“两位朋友有什么事吗？”其 中一位农民说：“阿凡提，我们遇到一个难题，想 来请教你。”然后这位农民就把这个难题的由来讲 了一遍。原来，这两位农民被地主巴依老爷雇佣干 活，眼看到发工钱的时候了，地主却打起了坏主意。 他和账房先生一计算，要给这两位农民各20块银元。地主心里非常不乐意，仿 佛拿走他的钱就像割他的肉一样。于是和老婆一起想出了个主意，要两个农民明天早晨割----- 亩麦子，一点不能多，一点也不能少。明早八点之前，巴依老爷要亲自检查。如果严格按要求完成了任务，就发工钱，而且还给回家的路费。如果完不成任务，工钱就一分不给。两位农民没有上过学，自然不知道----- 亩麦子到底是多少，正在发愁的时候，正好碰见了阿凡提，才有了开头那一幕。 阿凡提听完，笑了笑说：“两位朋友不用担心，你们只要按我说的去办，保证能拿到工钱，而且还能赚取路费。”阿凡提讲完，把两位农民叫到眼前。悄悄地把解难题的办法告诉了两位农民。两位农民听了以后，非常高兴，对阿凡提 千恩万谢。 第二天早晨，巴依老爷和老婆一起来到地里检查两位农民任务完成的情况。巴依老爷以为两位农民这次肯定一分钱都拿不到，所以脸上带着得意的笑容。可是走到地边却发现麦子正好割了 亩。两位农民说：“老爷，你的任务我们已经按时完成了，你也该给我们工钱了吧！”巴依老爷没办法，只得叫账房先生给了农民工钱。小朋友，你知道----- 有什么简便方法计算吗？ 我们可以看出： =-，=-，=-，=-，=-， 所以原式=-+-+-+-+-+。 因此两位农民要割 亩地。解这类分数题目关键在于拆分，然后计算，实现简化的目的。 第二部分：奥数小练 在解答一些较复杂的分数加减法问题时，必须从整体上观察试题，找到它们排列的规律及其数字特征，分析有无类似裂项公式的特点。这是解题的重点和关键。 常用方法： 1. 公式法：直接运用公式来计算，如运用等差数列求和公式等。 2. 图解法：将算式的意思用图表示出来，从而找出简便计算方法。 3. 裂项法：将一个分数拆分为两个或几个分数的差或和，使部分分数互相抵消，从而使计算简化。通常裂项公式为： =- 4. 分组法：运用运算定律，将原式重新组合，把能凑整或能化简的部分结合在一起简算。 5. 代数法：将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。 【例题1】 计算：+++…… 【思路导航】此题每一个加数的分子都是1，而分母又都是相邻的两个自然数的积，用裂项法简便。 =1- =- =-……=- 因此，原式=1-+-+-+…- =1- = 练习一：1.计算：+++…… 2.计算：+++++ 3.计算：1-+++ 【例题2】计算： ++++ 【思路导航】此题分子都是2，而分母又都是两个相邻奇数的积，所以根据分数的裂项原理和方法，把每个分数拆分成两个单位分数差的形式，通过抵消进行简算。 ++++ =1-+-+-+-+- =1- = 练习二：1.计算：+++++ 2.计算：++++ 3.计算： ++++ 【例题3】 计算1-+-+ 【思路导航】此题可以将一个分数拆成两个分数相加的形式，然后去括号，再进行运算简便。温馨提示：去掉括号后，要注意符号的变化。 因为=+ =+ =+ =+ 所以，原式=1-（+）+（+）-（+）+（+） =1--++--++ =+ = 练习三：1.计算：1-+-+-+- 2.计算：1-+-+ 3.计算：1-+-+- 【例题4】计算+++++ 【思路导航】此题可以利用图解法分析： 观察图形发现：所有分数的和是单位1减去剩余的部分，从而计算得出结果。 +++++=1-= 还可以这样思考： 观察分母之间的变化规律，后一个分母总是前一个分母的2倍，也就是两个后面的分数相加等于前一个分数，因此我们可以从最后开始算起，先加一个，就可以得到前一个分数，再一次从后往前加，就可以得到“和”为“1”，但是先前我们给整个算式加了一个，所以还要减去一个。 +++++ =+++++（+）- =++++（+）- …… =+- =1- = 练习四：1.计算：++++++++ 2.计算：+++++ 3.计算：1----- 【例题5】计算：+++++++++…+++…+… 【思路导航】此题可以用分组的方法解决。观察可知分母是1的和为1；分母是2的和为2；分母是3的和为3；……依次类推，分母是49的和为49，此题就简化成求1+2+3+…+49的和。 +++++++++…+++…