【教材解读】五年级下册数学同步教材解读与拓展讲义-第三单元 长方体和正方体 人教新课标版

长方体和正方体 第2课时 体积和体积单位（2） 今天是小明的生日，老师买了一个漂亮的蛋糕送给他。当您看到这个漂亮的蛋糕时，一定会想这么漂亮的蛋糕是怎么制作的呢？其实它除了制作技巧外还需要很多材料，那么您知道制作这个蛋糕需要多少材料吗？ 知识点1 长方体的体积计算公式 例题导入 怎样知道一个长方体的体积是多少呢？ 例题解读 1.方法探究。 （1）要知道一个长方体的体积，可以先把它切成一些小正方体，再求出它的体积，但有些物体不能切成小正方体。比如生活中的一些食物（冰箱），这时可以通过先测量长方体的长，宽，高的长度，再计算长方体的体积。 五年级数学（下）RJ （2）探究长方体的体积计算公式：用12个棱长为1厘米的小正方体摆成不同形状的长方体，拼摆的图形如下： 根据拼摆的长方体形状，可以得出下表。 每个长方体都是由12个小正方体组成的，体积都是12立方厘米，但它们的长，宽，高是不同的。通过观察表格和拼摆的情况发现规律如下：通过拼摆发现，每排小正方体的个数相当于长方体的长，排数相当于长方体的宽，层数相当于长方体的高；通过表格发现，长方体所含小正方体的个数正好等于长方体的体积的数值，如：12×1×=12立方厘米，6×2×1=12立方厘米，4×3×1=12立方厘米，3×2×2=12立方厘米。 2.正确解答。 小正方体的数量=长的数值×宽的数值×高的数值，也就是长方体所含单位体积的数量等于长方体的长的数值、宽的数值、高的数值的乘积，因此长方体的体积的计算公式是长×宽×高。 知识点2 正方体的体积计算公式 例题导入 例题解读 1.方法探究。 （1）分析正方体和长方体之间的关系，正方体是长，宽，高都相等的特殊的长方体。因此，长方体的体积计算公式也同样适应于正方体。 （2）推导正方体体积的计算公式。 长方体和正方体 长方体的体积=长 × 宽 × 高 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 2.正确解答。 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式V=a⋅a⋅a。a⋅a⋅a也可以写作a ,读作“a的立方”，表示3个a相乘。 知识点3 长方体和正方体的体积计算公式的应用 例题导入 计算下面图形的体积。 例题解读 1.方法探究。 题中已知长方体的长，宽，高，正方体的棱长，分别利用它们的体积计算公式V=abh和V=a 把各数值代入公式就可以求出它们的体积。 2.正确解答。 V=abh V=a =7×3×4 =6 =84（厘米 ） =6×6× =216（分米 ） 五年级数学（下）RJ 知识点4 长方体和正方体体积的统一计算公式 例题导入 正方体是一个特殊的长方体，可以用同一个公式计算它们的体积吗？ 例题解读 1.方法探究。 （1）认识长方体和正方体的底面积。 长方体和正方体无论怎样放置，总有一个面在下面，通常把下面的面叫底面。长方体和正方体底面的面积叫作底面积。（如图所示） （2）底面积的计算。 从图中可以看出长方体的底面积=长×宽，正方体的底面积=棱长×棱长。如果长方体的长用字母a表示，宽用字母b来表示，底面积用字母S表示，那么长方体的底面积：S=a⋅b；如果正方体的棱长用字母a表示，底面积用字母S表示，那么正方体的底面积：S=a⋅a=a 。 （3）长方体和正方体体积的统一计算公式。 2.正确解答。 如果用字母V表示长方体（正方体）的体积，用字母S表示底面积，用字母h表示高，那么长方体和正方体体积的统一计算公式为V=S∙h。 长方体和正方体 （延伸题)一块正方体钢材，棱长是40厘米，把它锻造成一个高160厘米的长方体钢材。这个长方体钢材的底面积是多少平方厘米？ 思路分析 锻造前后这块钢材的体积不变。因此可以求出正方体的体积，也就是长方体钢材的体积，又知道长方体的高，根据V=Sh可推导出S=V÷h,由此可求出锻造后长方体钢材的地面积。 规范解答 40×40×40=64000（厘米 ） 64000÷160=400（厘米 ） 答：这个长方体钢材的地面积是400平方厘米。 （创新题)3个形状相同的小长