五年级下册数学讲义-培优专题讲练：第13讲 巧解“弦图”与面积（无答案）人教版

第13讲 巧解“弦图”与面积 巧点睛——方法和技巧 三国时期，吴国数学家赵爽在为数学巨著《周髀算经》注释时，就得用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。 “弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小下方形，如图所示。 “弦图”的特点： （1）小长方形长宽之各=大正方形边长； （2）小长方形长宽之差=小正方形边长。 根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。 巧指导——例题精讲 A级 冲刺名校·基础点睛 【例1】 如右图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是 。 解 由题给条件“正方形与阴影长方形的边分别 平行”（或直观上观察）知，正方形四角处的四个四边 形都为长方形，而四边形ABCD的各边都分别平分这四个长方形，所以，四边形ABCD的面积=四角处四个长方形面积和的一半+6=（10×10-6）÷2+6=47+6=53。 做一做1 四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方形（如右图），大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。问：长方形的短边是几米？ 【例2】如图1，有一大一小两个正方形，对应边之间的距离都是1厘米。如果夹在两正方形之间的面积是12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？ 分析 要求出大正方形的面积，只要先求出大正方形或小正方形的边长即可。 下面设法求这两个量中的某个量。 图2与图1有类似之处，添辅助线将图1变成图2，就成了一人“弦图”。 图2中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为12÷4=3（厘米2）。 又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为3÷1=3（厘米）。大正方形的边长为4厘米，这样就可以求出面积了。 解法1 一个长方形的面积：12÷4=3（厘米2）， 长方形的长：3÷1=3（厘米）， 大下正方形的边长：3+1=4（厘米）， 大正方形的面积：4×4=16（厘米2）。 采用与解法1类似的想法还可以找到下面的一此解法。 解法2 添辅助线，将图2变成图3，先求出图3中长方形A的面积。因为大正方形四角都是边长为1厘米的正方形，而剩下的四个长方形的形状和面积都一样，所以A的面积为 （12-1×4）÷4=2（厘米2） 又因为长方形A的宽为1厘米