六年级下册数学讲义-小升初数论专题：5-数的整除之性质与求法（含答案）人教版

　 1．整除的定义 所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商 是一个整数”；或者换句话说：存在着第三个自然数c，使得a b c。这时我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，其中b叫a的约数，a是b的倍数，记作：“b|a”。 2．常用的数的整除特征 常用的特殊自然数的整除特征 ⑴2系列：被2整除只需看末位能否被2整除 被4整除只需看末两位能否被4整除 被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推 ⑵5系列：被5整除只需看末位是否为0或5 被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75 我们以被8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质。假设一个多位数末三位是abc，末三位之前的部分为x，那么该数 1000x abc，由于8|1000，所以8|1000x，因此该数能否被8整除就决定于末三位abc能否被8整除，证毕。 ⑶3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被3整除 被9整除只需看各位数字之和能否被9整除 我们以三位数为例来证明被9整除只需看各位数字之和这一性质。假设该三位数为abc 100a 10b c (99a 9b) (a b c)，很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a b c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc就能被9整除，反之亦然。推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。 ⑷7，11，13系列：看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除 为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现7 11 13 1001，正好比1000大1，由此我们可以得到如下证明： 和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是abc，前面部分是x，那么我们要证明的就是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc x能否被7，11，13整除。 由于该数 1000 x abc 1001 x (abc x)，又1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc x能否被7，11，13整除，证毕。 特别的，我们还有另外一种判别能否被11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除，若能整除则原数可被11整除，反之亦然。 3．整除的性质 ⑴传递性 若c|b，b|a，则c|a ⑵可加性 若c|a，c|b，则c|(