【精品原创】五年级奥数培优教程讲义-第20讲 最小公倍数（教师版+学生版） 通用版 (2份打包)

第20讲 最小公倍数 · 教学目标 掌握倍数和最小公倍数的概念，最小公倍数的求法； · 会利用最小公倍数解决实际问题。 一、约数和倍数的定义 整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。 如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数； 　　18的约数有1、18、2、9、3、6。 注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。 ②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。 ③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 ④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘的积是数c，a与b都是c的因数。 二、 2、3和5倍数的特征 2的倍数的数特征是个位是0、2、4、6、8，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数 5的倍数的数特征是个位是0或5 3的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数 三、质数与合数 （1）只有1和本身两个因数的数叫做质数（或素数） （2）除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数 （3）1既不是质数，也不是合数 （4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 （5）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。记作[2,3]=6。 如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。 如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。 注意：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积， 即（a，b）×[a，b]=a×b。 考点一：最小公倍数的求法 例1、列举法：求6和10的最小公倍数。 【解析】先分别写出6 和8 各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。 6 的倍数：6 ，12 , 18 ，24 ，30，36，42，48 … 10 的倍数：10 ，20，30，40，50 … 所以6和10的最小公倍数是30。 例2、短除法：求56和24的最小公倍数。 【解析】 2 56 24 2 28 12 2 14 6 7 3 56和24的最小公倍数是2×2×2×7×3=168 例3、分解质因数法：求120和100的最小公倍数 【解析】120=2×2×2×3×5 100=2×2×5×5 [120，100]=2×2×2×3×5×5=600 例4、多个数求最小公倍数：求45、60和75的最小公倍数 【解析】3 45 60 90 3 15 20 30 5 5 20 10 2 1 4 2 1 2 1 [45，60，90]=180 （当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去） 考点二：应用最小公倍数巧算 例1、一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的 ，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题目总数的 ，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道． 【解析】因小明答错的恰是题目总数的 ，两人都答错的题目占题目总数的 ，所以题目的总数应是4和6的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答。 解：已知题目个数一定是整数．设为X X是4和6的倍数． 且 ＜5，X＜30； 有 ＜X-5，X＞10； ＞5时，即X＞20时， 所以X=24； 答：都答对的题有24-5-6+4=17。 例2、某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人？ 【解析】甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息．因为 4和7的最小公倍数是28，因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时； 365÷28≈15（天），而在比7的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是 第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345（天），345÷28≈12（天） 所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28（