【精品原创】五年级奥数培优教程讲义-第19讲 最大公约数（教师版+学生版） 通用版 (2份打包)

第19讲 最大公约数 · 教学目标 掌握约数和最大公约数的概念，最大公约数的求法； · 会利用最大公约数解决实际问题。 一、约数和倍数的定义 整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的约数（在自然数的范围内）。 如：2和6是12的约数，12是2的倍数，12也是6的倍数； 　　18的约数有1、18、2、9、3、6。 注意：①一个数的约数个数是有限的，一个数的倍数有无数个。 ②任何数都有最小的约数1，最大的约数本身，最小的倍数也是本身。 ③一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 ④因数和约数的区别：约数必须在整除的前提下才存在，而因数是从乘积的角度来提出的。如果数a与数b相乘的积是数c，a与b都是c的因数。 二、质数与合数 （1）只有1和本身两个约数的数叫做质数（或素数）； （2）除了1和本身外还有其它约数的数叫做合数； （3）1既不是质数，也不是合数； （4）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 （5）每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质约数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质约数。 （6）把一个合数用质约数相乘的形式表示出来，叫做分解质约数。 几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数，记作（12,18）=6。 （7）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质； 相邻的两个自然数互质； 两个不同的质数互质； 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数； 如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。 考点一：最大公约数的求法 例1、列举法: 求12和18的最大公约数。 【解析】12的约数有1，2，3，4，6， 12。 18的约数有1，2，3，6，9，18。 12和18的公约数有1，2，3，6。 12和18的最大公约数是6。 例2、短除法：求42和105的最大公约数。 【解析】3 42 105 7 14 35 2 5 42和105的最大公约数为：3 7=21。 例3、分解质约数法：求48和72的最大公约数。 【解析】把48分解质约数：48=2 2 2 2 3 把72分解质约数：72=2 2 2 3 3 48和72的最大公约数为：2 2 2 3=24 例4、辗转相除法：求432和225的最大公约数。 【解析】432÷225=1余207 225÷207=1余18 207÷18=11余9 18÷9=2 所以9就是432和225的最大公约数。 考点二：应用最大公约数巧算 例1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？ 【解析】4分米5厘米＝45厘米、3分米6厘米＝36厘米、2分米4厘米＝24厘米。 45、36、24的最大公约数是3。 所以正方体木块的棱长最长是3厘米。 例2、一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？ 【解析】由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。 例3、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？ 【解析】由题可知扎的每一束花是两种颜色的，两种颜色的花，朵数不同，故先求出最多可以扎多少束花，即求96和72的最大公约数是24，然后求出在每束中，红花至少96÷24=4朵；黄花至少72÷24=3朵，继而相加得出结论． 解：96=2×2×2×2×2×3， 72=2×2×2×3×3， 故96和72的最大公约数：2×2×2×3=24； 96÷24+72÷24=7（朵）； 答：每束花最少有7朵； 考点三：最大公约数综合 例1、 可以写成哪两个分数单位的和？ 【解析】18的约数有1