六年级下册数学试题 - 小升初数学思维训练第14讲 行程问题（含答案解析）全国通用

小升初数学思维训练第14讲 行程问题 1、 知识地图 变速直线行程（求平均速度） 流水行船 不同参照系的行程 自动扶梯 在前一讲中，我们讨论了行程问题中典型的相遇和追及问题以及这类问题的拓展——多次相遇和公交车发车间隔问题，细心的读者应该注意到，前一讲讨论的问题中所涉及人或车辆的运动速度都是不变的，但是在我们的实际生活中，不会出现真正意义上的匀速运动，这时我们就要引入“平均速度”这一概念： 2、 基础知识 （1） 和平均速度有关的题 公式中的“总路程”“总时间”“平均速度”都是相对应的，例如：一辆卡车从A地到B地所花时间为T1，再从B地到C地所花时间为T2，那么这辆卡车在AB之间的平均速度，BC间的平均速度为，而AC间的平均速度为。 注意，平均速度不是多段路程上不同速度的简单平均值，一般有关平均速度的问题，仅给出部分路段行驶速度，而缺省路程或时间的数量条件。根据缺省条件的不同可以将求平均速度的题目分为两类：一类题目缺少路程条件，但给出了时间（或时间比）；另一类缺少时间条件，但给出了路程（或路程比）。前一类题目应该设总时间为特定的数值。对于后一类题目，我们通常使用假设总路程为特定数值的方法来解题，但无论用什么方法解答哪一类问题，都应该根据公式，将各个数量化为总路程和总时间的比后再求平均速度。 （2） 流水和电梯 涉及速度的变化不得不提在不同参照系中速度的变化，典型的问题有“流水行船问题”和“自动扶梯行走问题”。 流水问题是研究船在顺水和逆水中船只速度关系问题，流水问题的典型之处在于船在河流中航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推动或阻滞，所以顺流而下的速度和逆流而上的速度不同，行船速度除了跟船只本身的速度有关外，还受到河流中的流水速度的影响。 逆水船速=静水船速-水流速度； 顺水船速=静水船速+水流速度； 由以上两条关系式结合和差原理，能得到以下两个公式： 静水船速= 水流速度= 除此以外，在流水行船问题中还经常运用到一条性质：河流漂流物体速度=水流速度。 流水行船问题中的相遇与追及问题看似复杂，但所涉及的量仍遵循相遇问题或追及问题中的数量关系，我们举个例子，在一条河流的上下游有甲、乙两个港口，相距120千米，一艘游船从甲港出发往下游航行，与此同时一艘快艇从乙港出发往上游航行，已知游船的静水速度为15千米/小时，快艇的静水速度为25千米/小时，求经过多长时间两船相遇？ 这道题只给出了两艘船的静水速度，而要求相遇的时间必须知道船的实际速度。当然，实际速度可以由船的静水速度和水速计算得到，所以我们只要知道流水的速度就能求出两艘船的实际速度，为了研究这个问题，我们将不同水速下的相遇情况列表： 流水速度 游船实际速度 快艇实际速度 两船速度和 相遇时间 0千米/小时 15千米/小时 25千米/小时 40千米/小时 3小时 5千米/小时 20千米/小时 20千米/小时 40千米/小时 3小时 10千米/小时 25千米/小时 15千米/小时 40千米/小时 3小时 15千米/小时 30千米/小时 10千米/小时 40千米/小时 3小时 之所以有以上结论，是因为在流水环境中，甲乙两船的速度有如下数量关系。 甲船顺（逆）水速度+乙船逆（顺）水速度 =（甲船速±水速）+（乙船速水速） =甲船静水船速+乙船静水船速。 同样的在追及问题也有类似的数量关系： 甲船顺（逆）水速度-乙船顺（逆）水速度 =（甲船速±水速）-（乙船速±水速） =甲船静水船速-乙船静水船速。 由此我们能总结出一个一般性的结论：水速对相向行驶的两船速度和或同向行驶的两船速度差没有影响，所以水速对于相遇和追及的时间不产生影响。 （3） 自动扶梯问题 与流水行船问题类似的有自动扶梯上行走的问题，与行船问题类似的，自动扶梯的速度有以下两条关系式： 顺行速度=正常行走速度+扶梯运行速度 逆行速度=正常行走速度-扶梯运行速度 与流水行船不同的是，自动扶梯上的行走速度有两种度量，一种是“单位时间运动了多少米”，一种是“单位时间走了多少级台阶”，这两种速度看似形同，实则不等，拿流水行程问题作比较，“单位时间运动了多少米”对应的是流水行程问题中的“船只顺（逆）水速度”，而“单位时间走了多少级台阶”对应的是“船只静水速度”，一般奥赛题目涉及自动扶梯的问题中更多的只出现后一种速度，即“单位时间走了多少级台阶”，所以处理资料的时候要非常小心，理清了各种数量关系，自动扶梯上的行程问题会变得非常简单。 这两种度量统一于流水行船的数量关系： 顺水行程=顺水速度×时间 顺水行程=（船速+水速）×时间 扶梯长度=