六年级下册数学试题-小升初数学思维训练第6讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理 全国通用（含答案）

小升初数学思维训练第6讲 数论（三） 带余除法、同余性质、中国剩余定理 1、 知识地图 二、基础知识 （一）余数问题 在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。 1. 带余除法 1定义的引入： 带余除法：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r， 0≤r＜b，使得a=b×q + r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数的除式又可以表示为a÷b=q……r， 0≤r＜b 例如：给出整数13 ，整数5，那么就存在另外两个数2和3，使得13=5×2+3 其实也就是表达了13÷5=2…3，这么一个简单的意思。 2.和余数相关的一些性质 余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数） （1）余数小于除数。 （2）被除数=除数×商+余数 除数=（被除数-余数）÷商；　　 商=（被除数-余数）÷除数。 这条性质，要与整除性联系，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。因为在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。 （3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。 例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。 此时可以把a，b 都分别表示成c的整数倍加余数的形式，既然余数相同，那么做差的话就把彼此的余数减掉了，c的整数倍之间的差剩下的当然也是c的整数倍。然后再举几个例子来验证一下。比如9与34 除以5 的余数都是4，他们的差25就能被5整除。 （4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。 例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。 注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 （5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余