六年级下册数学试题-小升初数学思维拓展第22讲 抽屉原理（含答案解析）

小升初数学思维拓展第22讲 抽屉原理 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原理后，能很快使问题得到解决。那么，这一讲我们就来学习抽屉原理以及它的典型应用。 抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。 抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个抽屉中，那么必有一个抽屉中至少有2件物品。 例：有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么必有一个抽屉中至少有m+1件物品。 注意，要“保证”至少有m+1件物品放在n个抽屉里，物品数最少是m×n+1。 例：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。 Ⅰ、抽屉原理的典型应用 解题思路：做抽屉问题关键是确定 “抽屉”和“苹果”，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者为“苹果”，数量较少者为“抽屉”。确定“苹果”和“抽屉”之后，我们可以得出如下这个公式： 苹果÷抽屉＝商……余数，得到的结论为：有一个抽屉里至少有（商＋1）个苹果。注意，如果没有余数，那么求至少有多少个苹果时，商就不用+1了。这个公式对于求“至少”和“苹果”都有用。 【例1】 证明：（1）任意28个人中，至少有3个人的属相相同。（2）要想保证至少4个人的属相相同，至少有几个人？（3）要想保证至少5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？ 分析：（1）首先我们来确定苹果和抽屉，苹果比较容易确定，28个人就是28个苹果，抽 屉呢？题中提到了属相，由生活常识我们可知一共有12种属相，也就是有12个抽屉。两 者确定之后，我们套用公式就能解答了。 把12种属相看作12个抽屉，28＝2×12+4，根据抽屉原理，至少有2+1=3个人的属相 相同。 （2）这道题我们知道了“至少”是4，因此每个抽屉先放3个苹果，要想总人数最少，也就是苹果最少，商和除数已经定下来了，只能让余数最少，也就是余数为1。要保证有至少4个人的属相相同，总人数最少为：3×12＋1＝37（人） （3）和第（2）小题一样，这道题是已知“至少”要求苹果，而且是要求苹果个数的范围。要 保证有5个人的属相相同，总人数最少为：4×12＋1＝49（人），不能保证有6个人属相相 同的最多人数为：5×12＝60（人），所以总人数应该在49人到60人的范围内。 点评：抽屉原理中最典型的两种类型的题就是求“至少”和求“苹果”，这就要求我们要熟练运用公式：m×n+1，无论顺推反推都运用自如。我们可以尝试下面这道题： 学而思学校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生至少有3人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人数为多少人？ 分析：因为分成四组，必有一组的女生至少有3人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人），因为任意10人中必有男生，所以女生人数也至多9人，所以女生有9人，则男生有55－9＝46（人）。 Ⅱ、最不利原则 解题思路：有些题目中没有明显的“苹果”与“抽屉”，在解决问题时，需要要从问题的最差状态着手，也就是要考虑最不利的情况，才能满足题目的要求。尤其要注意这类题一般会提到两个词“至少”和“保证”，例如，教室里面现在有6个男生和4个女生共10人，问：至少出去多少人才能保证出去的人中有女生？经常会有人回答：“你不是问至少出去几个人么？既然要至少，那当然一个就行了，正好这个人是女生。这就是最少的答案。”这个答案是不对的，因为他只是考虑了“至少”，却没有考虑“保证”，万一出去的那个人是男生呢？有同学可能又要说了，既然你要“保证”，那么所有的人都出去不就可以保证了么？但是这又没考虑“至少”，所以在“至少”和“保证”中，我们应该优先考虑“保证”，再考虑“至少”，只有在保证的基础上，才去考虑最少的情况。这道题要想保证有女生，应该用最不利原则来考虑，也就是说出去一个不是女生，又出去一个还不是女生……直到所有的男生都出去了，再出去一个就是女生了，所以至少出去6+1=7个人，才能保证里面肯定有女生。 【例2】一副扑克牌，共54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证：（1）至少有5张牌的花色相同；（2）四种花色的牌都有；（3）至少有3张牌是红桃。（4）至少从中取出几张牌，才能保证至少有2张梅花牌和3张红桃。 分析：首先一定要弄清楚一副扑克牌有四种花色，分别是黑桃、红桃、梅花