六年级下册数学试题-小升初数学思维拓展第21讲 容斥原理（含答案解析）

小升初数学思维拓展第21讲 容斥原理 一， 知识地图 二，基础知识 趣题导引： 有一次，学而思小升初培训部进行数学和英语模拟测试，全体学员的考试成绩统计出来后，周老师在班上向同学报告所有学员的考试情况。 周老师说：“这次考试成绩比上一次有了很大的提高，说明同学们在这一段时间内非常认真地学习了学而思的课程，有我们老师的功劳，但更重要的是你们的努力，希望下一次考试可以更上一层楼。我们全体六年级学员有1106人，其中数学成绩90分以上的有542人，英语成绩90分以上的有479人，数学和英语成绩都考90分以上的有256人，数学和英语成绩都在90分以下的有350人，希望这部分同学可以奋起直追，加倍努力，争取在下一次考试中也都可以拿到90分以上的好成绩。” 周老师的话刚说完，其中一个同学小明就举手说：“老师，您的统计数据有问题，至少有一个人数是不对的。”周老师很从容的回答说：“没错，小明同学说得很对，确实有一个数据我故意说错的，就看大家能不能反应出来，你们知道是为什么吗？”于是大家都热烈讨论了起来，同学们，你们知道小明是如何很快又肯定的说有一个数据老师说错了吗？要想知道答案，先学好下面的内容了！ （一）容斥原理介绍 本章节的主要内容是解决涉及包含与排除关系的计算题与应用题，运用到的一个基本原理称为容斥原理，下面我们将容斥原理的内容介绍给大家，由于容斥原理中涉及的各部分之间的关系非常的微妙，希望同学可以仔细学习，细心体会。 1、两者容斥原理图形与公式 首先讨论两者之间的包含与排除关系，我们先来看一个例子， 一个班级上有同学数学及格，有同学语文及格，有同学两门功 课都及格，还有同学两门功课都不及格，那么它们的人数关系 可以用右图表示： 从图中我们可以看出它们之间的关系，即： （数学及格人数+语文及格人数-都及格人数）+都不及格人数=全班人数 大家知道为什么要减都及格人数吗？ 这是因为数学及格人数和语文及格人数里面都包含了两门都及格 的人数，这样两门都及格人数就重复计算两次，所以要减去一次。 总结为一般规律，我们可以用公式来表示： S=（A+B-A∩B）+D=A∪B +D （字母含义：A∩B-既属于A、又属于B的元素； A∪B-属于A，B中任何一个的元素； D -既不属于A、又不属于B的元素。） 这就是二者容斥原理的一般表达形式，图形表达（我们称之为韦恩图）如图所示。 2