六年级下册数学试题 小升初数学专题第15讲 行程（三） 行程中的比例（含答案解析）全国通用

小升初数学专题第15讲 行程（三） 行程中的比例 1、 知识地图 行程中的比例关系 其他类型 （正反比例运用） 相遇点变化问题 基础知识 行程问题中有很多经典题目需要用比例关系，由行程问题的基本关系式“路程=速度×时间”即可推导出三条基本比例关系： 速度相同，时间与路程成正比。 事实上在前两讲的行程问题已经涉及第一条比例关系，例如在多次相遇问题中，我们推导任意两次相遇事件发生时间的间隔相等，以及在自动扶梯上的行走问题中，计算电梯运行级数比，都用到了“速度相同，时间比等于路程比”这条比例关系式。 时间相同，速度比与路程成正比。 第二条比例关系在行程问题中运用非常广泛，因为“由时间相同，速度比等于路程比”可以得到很多推论，例如，有这样一个问题： 甲、乙两人原计划同时分别从A、B出发相向而行，并在A、B之间的C点相遇，可是天降暴雨，甲、乙两人只能以原来速度的一半行进，已知甲的原速度大于乙的原速度，问，两人的相遇点在C点的哪一侧？ 这个问题，如果用第二条行程比例关系来说明，就非常清楚了，假设甲乙两人原计划的速度分别为2a和2b，那么在相遇的相同时间内两人的行程之比为a︰b，而减速后两人实际的速度分别为a和b，那么在相遇的相同时间内两人的实际行程之比为a︰b，原计划和实际的两人行程比也是相等的，所以实际的相遇点还是C点。 （1） 路程相同，速度比等于时间的反比。 第三条比例关系是行程问题中的难点，通常在题目中以以下两种方式出现： 1. 原计划汽车速度为40千米／小时开往目的地，实际汽车的速度为50千米每小时，结果汽车比原计划早到1个小时。求原计划所花时间。 　这类题的算术解法一般有两种： 解法（一）：原计划比实际多花的一个小时，本应该多行驶40千米，但是实际行驶和原计划行驶的距离是相等的，所以在实际行驶的若干小时内比相同时间原计划速度行驶的距离多40千米，而每小时实际行程比原计划行程多10千米，所以实际行驶的时间为40÷10＝4（小时），原计划所花时间为5小时。 这种解法可以用矩形图来表示，如图：矩形的长表示行程时间，宽表示行程速度，那么面积就表示行程路程，矩形C的长宽已知，所以能求出矩形C的面积为1×40=40，又因为路程相等，矩形A与矩形B的面积和等于矩形C与矩形B的面积和，所以A的面积等于矩形C的面积， 矩形A的长为40÷10=4。 解法（二）：原计划行驶速度与实际速度的比为4︰5，那么由于路程相同，所以原计划所花时间和实际所花时间比为实际速度的反比即5︰4，而“汽车比原计划早到1个小时”，由此很容易得出原计划所花时间为1÷（5－4）×5＝5（小时）。 2. 原计划汽车到目的地要花5小时，实际汽车比原计划多10千米/小时，结果只花了4个小时，求原计划汽车的速度。 同样的这类题算术解法也一般有两种： 解法（一）：实际汽车每小时比原计划多10千米/小时，四个小时多行40千米，原计划少行的这40千米，实际上在最后的一个小时内补上了，所以原计划汽车的速度为40千米/小时。如图： 解法（二）：实际汽车行程时间与原计划时间比为5︰4，由于路程相同所以实际汽车的速度和原计划汽车速度比为原计划时间比的反比4︰5，而汽车速度差已知，所以很容易能得出原计划汽车的速度为40千米/小时。 两类题目的第二种解法都使用了行程问题中的第三条比例关系，相对第一种解法而言，运用比例解决行程问题，分析和解答的过程更为自然。 1、 经典透析 【例1】 （☆☆）某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“十分钟前我超过一辆骑自行车的人。”这人继续走了十分钟，遇到了这个骑自行车的人，如果自行车的速度是人步行速度的三倍。问汽车速度是人步行速度的多少倍？ ［审题要点］ 由速度比就能得到路程比，求速度比也应该首先知道路程比，关键在于汽车、自行车、行人之间的路程比转化。 ［详解过程］ 如图，自行车的速度是人步行速度的3倍，所以相同时间内自行车行走的路程是人步行路程的3倍，所以从行人与汽车相遇到行人与自行车相遇的十分钟内，自行车与行人所行路程比为3︰1，而这个相遇过程中的总路程实际上就是行人与汽车相遇时汽车与自行车的距离，所以从汽车超过自行车时到汽车与行人相遇，自行车与汽车的行驶路程比为 　　3︰（3+3+1）=3︰7 所以自行车的速度和汽车速度的比为3：7，联系自行车的速度是行人速度的3倍，行人与汽车的速度比为： （3÷3）︰7=1︰7 所以汽车的速度是行人速度的7倍。 【例2】 （☆☆）甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行的速度都是每小时4千米。学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。为了使两班学生