六年级下册数学小升初专题-牛吃草问题 全国通用版（含答案）

小升初数学专题 第3讲 牛吃草问题 一、知识地图： 二、基础知识： 英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长。后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”，类似的还有抽水问题等。我们具体来看一道典型的牛吃草问题： 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛可吃几天？ 分析：要想知道这些草供25头牛可吃几天，必须知道草的总量和每头牛每天吃草的量。然而题目当中并没有告诉我们这样的条件。因此我们可以假设1头牛1天吃1份的草，那么10头牛20天可以吃10×20=200份草。15头牛10天可以吃15×10=150份草，有同学可能会奇怪了，同样都是把牧场的草吃完了，为什么吃草的总量不一样啊？你们明白为什么吗？ 聪明的同学可能已经明白了，对，因为每天都会有新的草长出来， ，所以草的总量并不是固定不变的。吃的时间越长，长的草越多，草的总量也就多了。由刚才的计算我们可以看出，吃20天的草的总量比10天要多，原因就在于此。我们来看看下面这幅图： 从上面的图可以看出：草的总量可以分成两部分，一部分是原有的草，还有一部分是新长的草。10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的总草量多，多出部分相当于10天新生长出的草量。设1头牛1天吃1份草，则10头牛20天比15头牛10天多吃份，则这块牧场每天新长份牧草。 在第一种情况中，20天一共新长了份牧草，而牛一共吃了份，说明原来有牧草份。 因为每天长5份的草，因此我们可以这样考虑，安排5头牛专门吃新长的草，剩下的牛吃原有的草，什么时候才能把草吃完呢？当牛把原有的草吃完的时候，草就不再生长了，也就是把所有的草全都吃完了。 25头牛中安排5头牛吃新草，剩下的20头牛去吃原有的草，那么原有牧草可维持5天，即可供25头牛吃5天。 解答牛吃草问题通常设每头牛每日吃掉的草量为单位“1”，解题关键在于通过对题中条件的分析比较，求出牧场上原有的草量，单位时间生长的草量。我们对于基本的牛吃草问题可以做如下总结，我们称之为＂五步法＂： 1. 求出两个总量。 2. 总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数 3. 每天长草量×天数=总共长出来的草 4. 草的总量－总共长出来的草＝原有的草 5. 原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天（或原有的草÷能吃多少天＝吃原有草的牛） 当然，牛吃草问题的变化还比较多，因此以上＂五步法＂只能作为参考，切不可生搬硬套。 上面是从算术方法的角度，提供一种分析问题的思路。 我们应该在解题中时刻把握“牛吃草问题”的核心是： 牛吃草总量=草场原有草量+新长草量 这种关系，在实际题目中，一般会出现两种方案，对这两种方案的进行比较，是获得解题思路的捷径。 这种比较主要看两种方案“总草量”之差，这对应着两种方案的“时间差”。 具体来看这里的关系： 牛的头数×吃的天数=草场原有草量+每天长草量×吃的天数 由此可知，一般牛吃草问题，首先要把两个关键的量求出来： （1）每天长草量 （2）草场原有草量 请“奥数研究生”们在下面的例题中揣摩这两个量的求解方法。 经典透析 【例1】有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽，养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把草吃尽呢？ 分析：同学们可以试着用＂五步法＂来解决一下这道题。注意要求出每天长草量和原有草量。 　　　设1头牛1天吃1份的草， 1.求两个总量，27×6＝162　　　23×9＝207 2.总量的差÷时间差=每天长草量=安排去吃新草的牛数 　　（207－162）÷（9－6）＝15 3.每天长草量×天数=总共长出来的草 　　　15×6＝90 4.草的总量－总共长出来的草＝原有的草 　　　162－90＝72 5.原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天 　　　72÷（21－15）＝12 所以如果养牛21头，那么12天能把草吃尽 点评：对于比较基本的牛吃草问题，五步法还是很好用的。 【例２】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？ 分析：很显然，这道题和我们上一道题是有区别的，上一题每天的草量在增加，而这道题却是草量每天减少。那么该怎么处理这个问题呢？上一道题我们安排了一部分牛去吃新长的草，那么这道题能不能把每天减少的草想象成是有一些牛来帮忙吃了呢？ 设1头牛1天吃1份牧草，则20头牛5天吃掉20×5=100份牧草，16头牛6天吃掉16×6=96份牧草，说明6-5=1天牧场上的牧草减少100-96=4份，我们可以假设有4头牛来帮忙把这部分草给吃了。牧场上的原有草量是：100+4×5=120份。原来有11头牛，现在又有