六年下册奥数试题- 容斥原理（一） 全国通用（含答案）

第9讲  容斥原理（一）   森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。”这个统计正确吗？ 同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。例如：请看下图，在长为30厘米，宽为20厘米的长方形铁板上钻了一个半径为5厘米的圆孔，请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？ 这个图形是一个不规则图形，如果我们直接计算很难，由上图容易看出阴影面积加圆面积恰好等于长方形面积，而长方形面积与圆的面积都很好计算，因而有：阴影面积=20×30-5×5×π=600-25π（平方厘米）。 由此我们得到排除法：两个分量之和等于总量，当计算一个分量时，可用总量减去另一个分量。即若A＋B=C，则A=C-B。请看下面的例题。 例1  一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？ 分析：两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。 解答：设两项比赛都参加的有X人，那么 （37+40）-X=48 X=29 说明：通过上题我们发现，解答这类问题最好先画图，它可以帮助我们分析数量关系。另外我们还发现在解答问题时可以分两步进行：第一步先把两类数量加在一起，即都“包含”进来。37+40=77，第二步再减掉一个班有学生48人，这个数量，即“排除”，就可以求出正确答案了。77-48=29。还可以这