六年级上册奥数试题-第3讲 带余除法和同余 全国通用（含答案）

第3讲  带余除法和同余   知识网络 一般地，整数a被自然数b除，必定有惟一的整数q和惟一的整数r，使得 a=b×q+r 其中r＜b，当r=0时，就是整除的形式。同样，可以把上式转化为 a-r=b×q 这样也可以看成（a-r）是b的倍数。 同样，就可以引出同余的定义。如果a、b为整数，n为正整数，a、b被n除所得的余数相同，就称a、b对模n同余，并用符号a≡b mod(n)来表示。如果a、b对模n同余，那么定有a-b是n的倍数。   重点·难点 本讲的重点难点在于对同余的应用，这就要首先掌握同余的几个基本性质： 对a、b、c、d均为整数，m、n为正整数，有 （1）a≡a mod(n)。 （2）如果a≡b mod(n)，那么b≡a mod(n)。 （3）如果a≡b mod(n)及b≡c mod(n)，那么a≡c mod(n)。 （4）如果a≡b mod(n)，c≡d mod(n)，那么a+c≡(b+d) mod(n)。 （5）如果a≡b mod(n)，c≡d mod(n)，那么a×c≡b×d mod(n)。 （6）如果a≡b mod(n)，那么。   学法指导 带余除法的题一般数字较大、直接计算有难度，如何化繁为简就成为关键。一般地，只要对题目有深入的分析，抓住隐藏在其中的规律，就能顺利解出题来。、   经典例题 [例1]我国古代数学名著《孙子算经》有这样一道有关自然数的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2。问物几何？翻译成现代文就是：一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2。求这个数。   思路剖析 设这个数为a，则有 a≡2 mod(3)，a≡3 mod(5)，a≡2 mod(7) 可以取 易得，是整数 易得是整数 易得是整数 因此   解答 由上述分析   因此这个数最小值是23。 [例2]菲波那契数列定义如下：前两个数都是1，从第三个数起，每个数是前面两个数的和。于是其中前面几个数是1，1，3，5，8，13，21，34，55… （1）求其中第2002个数被4除的余数。 （2）如果在前n个数中有2002个是4的倍数，问n应是多少？   思路剖析 我们只需考虑菲波那契数列的前两个数被4除的余数，后面其他数被4除的余数可根据菲波那契数列的构成规律得到。 例如：第一个数1被4除余1，第二个数1被4除余1，那么第三个数被4除的余数就是前两个