趣味读物-数学探索[全套][整理]

1=2？ 　　推理的艺术触及到我们生活的方方面面，比如决定吃什么，用一张什么样的地图，买一件什么样的礼物，或者证明一个几何定理，等等。有关推理的种种技巧，都溶入了问题的解决之中。在推理中一个小小的毛病都导致十分怪异和荒谬的结果。例如，你是一名计算机的程序员，你就会担心由于某一步骤的忽略而导致了一种无限的循环。我们中间谁能保证在我们的解释、解答或证明不会发现一点错误呢？在数学中除以零是一种常见的错误，它能引发像下面“1=2”的证明那样的荒谬的结果，你能发现它的错误错在那里吗？ 如果a=b且a,b>0,则1=2   　　1)a,b>0   　　已知   　　2)a=b   　　已知   　　3)ab=b2   　　第2步“=”的两边同“*”   　　4)ab-a2=b2-a2   　　第3步“=”的两边同“-”   　　5)a(b-a)=(b+a)(b-a)   　　第4步的两边同时分解因式   　　6)a=(b+a)   　　第5步“=”的两边同“/”   　　7）a=a+a   　　第2，6步替换   　　8)a=2a   　　第7步同类项相加   　　9)1=2   　　第8步“=”的两边同“/” 　(答案由同学们自己思考) $$ 三个A 　　在下列乘法算式中，每个字母代表0～9的一个数字，而且不同的字母代表不同的数字： 　　AS 　　×A 　　—————— 　　MAN 　　A代表0～9中的哪一个数字？ 　　（提示：如果式子中每个字母都有一个解（确实是有一个解的话，那也需要首先求出A的值。） 　　答　案 　　A不能是0，否则M和N也都等于0。 　　A不能是1，因为乘积与AS不同。 　　A不是能2，因为这样乘积就不会是三位数。 　　A不能是3，因为不可能给A×A进位4。 　　A不能是4或7，因为不可能给A×A进位8。 　　A不能是5或6，因为这样要公S等于0，这就使得N等于S；要么S等于1，这就使得N等于A。 　　A不能是9，因为这样就必须要进位8，使得A等于S。 　　因此，A必定是8。 　　虽然至此已经完成了本题的要求，但我们还是把S、M和N的值求出来：由于必须进位4，S一定是5或6；但是S不是能是6，否则会使A等于N。因此S是5，整个乘法算式如下： 　　85 　　×8 　　———— 　　680 $$ 三个D 　　在这下面的乘法算式中，每个字母都代表0～9的一个数字，而且不同的字母代表不同的数字： 　　A 　　×CB 　　————— 　　ED 　　GF 　　————— 　　DDD　　   请问D代表哪一个数字？ 　　（提示：首先判定111的整数因子。） 　　答　案 　　A×CB=DDD。 　　A×CB=D×111。 　　A×CB=D×3×37。 　　因而CB为37或74（即2×37）。 　　如果CB为37，则A=3D。 　　如果CB为74，则2A=3D。 　　于是A、B、C、和D的值有六种可能，如下表： 6 　　×37 　　—————— 　　42 　　18 　　—————— 　　222 3 　　×74 　　—————— 　　12 　　21 　　—————— 　　222 9 　　×74 　　—————— 　　36 　　63 　　—————— 　　666 　　由于每个字母各代表一个不同的数字，(a)、(c)、(e)这三种可能可以排除。 　　以(b)、(d)、(f)的数值作实际运算，可以确定在每种情况下E、F和G所代表的数字。我们得到如下三个式子： 　　 $$ 三个J 在下列加法算式中，每个字母代表0～9的一个数字，而且不同的字母代表不同的数字。    A B C    D E F    G H I +  G H I _________    J J J J代表哪一个数字？ (注：假定A、D和G都不能为O)。 (提示：在J为某些特定值的情况下，判定每一列的可能的和；然后把这三个和与J相加，看看其总和是否等于46。) 答　案  (1)由于A、D和G代表的是O以外的三个不同的数字，所以J必定是6、7、8或9。 (2)由于C、F、I代表三个不同的数字，所以它们的和不会超过24；而为了保证J是6、7、8或9，它们的和不能超过19。 （3）如果任何两列的每列数字之和为6、7、8或9，则余下一列的和也必定是6、7、8或9；可是，从A到I的各个字母代表的是9个不同的数字，不可能出现这种情况。因此，最多只能有一列的和为6、7、8或9。 从以上三点可以得出如下的结论： （a）如果A＋D＋C＝6，则C＋F＋I必定是16、7或17。 （b）如果A＋D＋C＝7，则C＋F＋I必定是17、8或18。 （c）如果A＋D＋G＝8，则C＋F＋I必定是18、9或19。 （d）如果A＋D＋C＝9，则C＋F＋I必定是19。