小升初数学专项题-第二十一讲 容斥原理（包含与排除)-通用版

第二十一讲 容斥原理（包含与排除） 【知识梳理】容斥原理（包含与排除原理）： （用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3） 原理一（二量重叠）：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行： 　　第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素） 　　总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣ 　　原理二（三量重叠）：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行： 　　第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；　第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；第三步：再加上∣A∩B∩C∣。 　　即有以下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C 【典例精讲1】实验小学三年级一班统计考试成绩，数学得90分上的有35人；语文得90分以上的有31人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？ 思路分析：设A={数学成绩90分以上的学生}，B={语文成绩90分以上的学生}，那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，∣A∣=35，∣B∣=31，∣A∪B∣=38，现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理即可解决。 解答：设A={数学成绩90分以上的学生}，B={语文成绩90分以上的学生}， ∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=35+31-38=28 答：两科都在90分以上的有28人. 小结：解决这类问题关键要弄清楚重叠部分是多少。 【举一反三】1. 六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有多少人？ 2. 两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状，把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 3. 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有多少个？ 【典例精讲2】希望小学六年级的课外小组分为音乐、下象棋、书法三个小组，参加音乐小组的有23人，参加下象棋小组的有27人，参加书法小组的有18人；同时参加音乐、下象棋两个小组的有4人，同时参加音乐、书法小组的有7人，同时参加下象棋、书法小组的有5人；三个小组都参加的有2人。问：这