第四章 4.3圆周角和圆心角的关系

3. 圆周角和圆心角的关系 (2)圆周角定理 九年级数学(上) 第四章： 对圆的进一步认识 圆周角 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?. 圆周角 顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角. 想一想 1 驶向胜利的彼岸 ●O B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E D E 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. 想一想 2 驶向胜利的彼岸 ●O ●O ●O A B C A B C A B C 圆周角和圆心角的关系 如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系? 说说你的想法,并与同伴交流. 教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系. 议一议 3 ●O A B C ●O A B C ●O A B C 圆周角和圆心角的关系 1.首先考虑一种特殊情况： 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. ∵∠AOC是△ABO的外角， ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 老师期望:你可要理解并掌握这个模型. 议一议 4 ●O A B C 即 ∠ABC = ∠AOC. 圆周角和圆心角的关系 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 议一议 5 ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. A B C D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, 圆周角和圆心角的关系 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? 老师提示:能否也转化为1的情况? 过点B作直径BD.由1可得: 你能写出这个命题吗? 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 议一议 6 ●O ∴ ∠ABC = ∠AOC. D ∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD, A B C 圆周角定理 综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是: 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视. 议一议 7 驶向胜利的彼岸 ●O A B C ●O A B C ●O A B C 即 ∠ABC = ∠AOC. 思考与巩固 1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小. 2.如图(2),在⊙O中,∠BAC=50°, 求∠C的大小. A 驶向胜利的彼岸 随堂练习 8 ●O B A C 解: ∠A = ∠BOC = 25°. ●O C B D 拓展 化心动为行动 1.如图,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系?为什么? 2.想一想，等圆中也有这样的结论吗？ 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 驶向胜利的彼岸 猜一猜 9 ●O B A C D E 驶向胜利的彼岸 挑战自我 习题4.3 3-5题 祝你成功! 独立作业 10 驶向胜利的彼岸 驶向胜利的彼岸 结束寄语 要养成用数学的语言去说明道理,用数学的思维去解读世界的习惯. 下课了! $$ 3. 圆周角和圆心角的关系 (1)圆周角定理 九年级数学(上)第四章： 对圆的进一步认识 圆周角 在射门游戏中(如图),球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关. 圆周角 顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角. 圆周角也可以看作两条有公共端点的弦所夹的角. 读一读 1 ●O B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C 问题1、如图2，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点，那么你发现了些什么结论？ A C O B 图2 师生合作 1 1 师生合作 1 1 师生合作 1 1 师生合作 1 2 定理：半圆（或直径）