第一章常用逻辑用语

1.4全称量词 与存在量词 高中选修《数学2-1》（新教材） 哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年，由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.   1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，正式提出了以下的猜想： 1)任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和． 2)任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和． 这就是哥德巴赫猜想． 欧拉在回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明.从此，这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”．   中国数学家陈景润于1966年证明：“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”通常这个结果表示为 “1+2”这是目前这个问题的最佳结果． 科学猜想也是命题．哥德巴赫猜想它是一个迄今为止仍然是一个没有得到正面证明也没有被推翻的． 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 常见的全称量词还有“一切” “每一个” “任给”“所有的”等. 结论：由命题的定义出发，（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。 分析（3）（4）分别用短语“对所有的”“对任意一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）称为可以判断真假的语句。 想一想？？ 短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词．用符号“　　”表示。 是整数 是整数 对 数 要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。 练习：判断下列命题的真假： (1) (2) 含有存在量词的命题，叫做特称命题。 常见的存在量词还有“有些” “有一个” “对某个” “有的”等. 想一想？？ 短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常叫做存在量词．用符号“　　”表示。 要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。 练习：判断下列命题的真假： (1) (2) 例、判断下列命题是全称命题，还是特称命题？ （1）方程2x=5只有一解； （2）凡是质数都是奇数； （3）方程2x2＋1=0有实数根； （4）没有一个无理数不是实数； （5）如果两直线不相交，则这两条直线平行； （6）集合A∩B是集合A的子集； 练习：判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。 （1）中国的所有江河都注入太平洋； （2）0不能作除数； （3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数； （4）每一个向量都有方向吗？ 想一想？ 含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 从形式看，全称命题的否定是特称命题。 全称命题 它的否定 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 否定: 3) 想一想？ 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论 从形式看,特称命题的否定都变成了全称命题. 特称命题 它的否定 写 称 题 含有一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题, 特称命题的否定是全称命题. x∈M，p(x) 1 全称命题p： p 它的否定 ： x∈M， p(x) x∈M，p(x) 2 特称命题p： p 它的否定 ： x∈M， p(x) 作业及练习 课外练习:已知命题p:( （0,+∞），三个数 ， ， 中至少有一个不小于2 .试写出(p,并证明它们的真假. 解:(p:( (0,+∞),三个数 , , 全小于2 . 假设(p是真命题,则( (0,+∞), + + <6 ∵ + + = ∴推出矛盾,由此可知(p是假命题,∴p是真命题 作业： P20－21　习题5 　　　　　　　　1、4 $$ 1.2.2 含有一个量词的命题的否定 全称命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立” 读作：对任意x属于M，有p(x)成立 集合 复习回顾 特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立” 符号简记为： 读作：“存在一个x属于M，使p(x)成立” 含有全称量词的命题，叫做全称命题 含有存在量词的命题，叫做特称命题 符号简记为： x∈M,p(x) x∈R ,p(x) 判断全称命题和特称命题真假 复习回顾 常见的全称量词有“所有的”“任意一个” “一切” “每一个” “任给”“所有的”等. 常见的存在量词有“存在一个”“至少一个” “有些” “有一个” “对某个” “有的”等. 要判定全称命题“ x∈M, p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元