高中物理竞赛辅导之微积分的应用

作业01　　姓名： （1）求∫（sinx + cosx）2dx　　　　　　　 　（2）求∫（3 – x2）2dx （3）求∫（1 – sin2x）1/2dx　　　　　　　 　（4）求∫tan2xdx 题01：（第22届预赛）如图所示，水平放置的金属细圆环半径为a，竖直放置的金属细圆柱（其半径比a小得多）的端面与金属圆环的上表面在同一平面内，圆柱的细轴通过圆环的中心O．一质量为m，电阻为R的均匀导体细棒被圆环和细圆柱端面支撑，棒的一端有一小孔套在细轴O上，另一端A可绕轴线沿圆环作圆周运动，棒与圆环的摩擦系数为(．圆环处于磁感应强度大小为 、方向竖直向上的恒定磁场中，式中K为大于零的常量，r为场点到轴线的距离．金属细圆柱与圆环用导线ed连接．不计棒与轴及与细圆柱端面的摩擦，也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场．问沿垂直于棒的方向以多大的水平外力作用于棒的A端才能使棒以角速度( 匀速转动． （答案： ） 题02：证明圆的面积公式S=πr2。 题03：推导弹簧的弹性势能公式。 题04：推导电容器所容纳电能的公式。 题05：证明自感线圈的磁场能的公式LI2/2。 题06：（1）证明点电荷Q电场的电势为kQ/r；（2）假如有一个半径为R实心金属球带电量Q，试推导并证明金属球电场空间中的电势，包括金属球内外。选择无穷远处电势为零。 B A O a B e d - 1 - $$一、常数和基本初等函数的导数公式 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 （2）函数的和、差、积、商的求导法则 设 ， 都可导，则 ， （ 是常数）， ， 。 2、 微分运算法则及微分公式表 由 ，很容易得到微分的运算法则及微分公式表（当 都可导）： ， ， ， 。 微分公式表： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 3、 积分公式 ( 为常数) ( ) $$第三章 微分中值定理与导数应用 第一节 微分中值定理 教学目的：理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 教学重点：罗尔定理、拉格朗日中值定理。 教学难点：罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用。 教学内容： 一、罗尔定理 1. 罗尔定理 几何意义：对于在 上每一点都有不垂直于 轴的切线，且两端点的连线与 轴平行的不间断的曲线 来说，至少存在一点C，使得其切线平行于 轴。 C A B 从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理 费马引理 设函数 在点 的某邻域 内有定义( 并且在 处可导( 如果对任意 ( 有 (或 )( 那么 ( 证明：不妨设 时， （若 ，可以类似地证明）. 于是对于 ,有 , 从而当 时, ; 而当 时, ; 根据函数 在 处可导及极限的保号性的得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 所以 , 证毕. 定义 导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点). 罗尔定理 如果函数 满足：（1）在闭区间 上连续( （2）在开区间 内可导( （3）在区间端点处的函数值相等，即 ( 那么在 内至少在一点 ( 使得函数 在该点的导数等于零，即 ( 证明：由于 在 上连续，因此必有最大值M和最小值 ，于是有两种可能的情形： （1） ，此时 在 上必然取相同的数值M，即 由此得 因此，任取 ，有 （2） ，由于 ，所以M和 至少与一个不等于 在区间 端点处的函数值.不妨设 (若 ,可类似证明),则必定在 有一点 使 . 因此任取 有 , 从而由费马引理有 . 证毕 例1 验证罗尔定理对 在区间 上的正确性 解 显然 EMBED Equation.3 在 上连续，在 上可导，且 , 又 , 取 ,有 . 说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, 其结论可能不成立; 2 使得定理成立的 可能多于一个，也可能只有一个. 例如 在 上除 不存在外，满足罗尔定理的一切条件， 但在区间 内找不到一点能使 . 例如 除了 点不连续外，在 上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 上不存在使得 的点 例如 除了 外，在 上满足罗尔定理的一切条件，但在区间 上不存在使得 的点 又例如 满足定理的一切条件，而 2．罗尔定理的应用 罗尔定理1）可用于讨论方程只有一个根；2）可用于证明等式. 例2 证明方程 有且仅有一个小于1的正实根. 证明：设