第7讲 角平分线及性质（讲义）-初二数学八年级上册同步训练教师免备课（人教版）

角平分线及性质 1. 熟练掌握角平分线的性质及判定方法，并能够进行相关的计算； 2. 会利用角平分线的性质和判定进行尺规作图； 3. 掌握角平分线相关的常用辅助线的添加技巧. 1. 角平分线性质和判定的综合应用； 2. 角平分线相关的常用辅助线的添加技巧.[来源:学科网] 角平分线的性质及相关计算 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长度； ②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等； ③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直；如果没有垂直则需要构造垂直后再使用该性质. 2. 角平分线性质的数学语言描述 如图，∵C在∠AOB的角平分线OD上，CE⊥OA，CF⊥OB， ∴CE=CF. 注：在使用数学语言描述角平分线的性质时，一定要注意必须有垂直的说明，即必须强调“CE⊥OA，CF⊥OB”，所以“①点在角的平分线上；②过这一点作角两边的垂线段”这两点缺一不可. 例1.下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E，F，G 分别在射线OM，ON，OP 上，则可以解释定理“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（　　） A． B． C． D． 练习1.如图，BF、CF分别是∠DBC和∠ECB的角平分线，则关于F的说法不正确的是（） A．F到△ABC三边所在直线的距离相等 B．F在∠A的平分线上 C．F到△ABC三顶点的距离相等 D．F到BD、CE的距离相等 角平分线的性质是角平分线上的点到角的两边距离相等，其中需要注意的是要明确“点到边的距离”是如何体现的. 例2.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　） A．OE是∠AOB的平分线 B．OC=OD C．点C、D到OE的距离不相等 D．∠AOE=∠BOE 练习1.如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA，OB的距离都等于a，作法如下： （1）作OB的垂线段NH，使NH=a，H为垂足． （2）过N作NM∥OB． （3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于P． （4）点P即为所求． 其中（3）的依据是（　　） A．平行线之间的距离处处相等 B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 在角平分线相关的作图问题中，一般常会用到的是角平分线的定义和角平分线的性质. 例3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 练习1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，若CD=4，AC=12，AB=15，则△ABC的面积为（　　） A．48 B．50 C．54 D．60 练习2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（　　） A．8 B．6 C．5 D．4 角平分线的性质能够为面积的计算直接提供现有的高以及高的具体值，所以涉及到角平分的计算也常会与面积结合. 例4.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　） A．1 B．2 C． D．4 练习1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠BAC的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为　 　． 练习2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 练习3.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 求点到线的距离问题在角平分线相关的部分是非常典型的一种类型题，其中需要明确的知识包括点到线的距离的标准定义、角平分线的性质，将两者结合来添加辅助线也是非常重要的一种处理手段. 例5.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D．2 练习1.如图，OP平分∠MON，PA⊥OA于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的值为（　　） A．1 B．2 C．大于2 D．不小于2 练习2.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点