2.3 等差数列的前n项和-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版必修5）

2.3 等差数列的前n项和 一、数列前n项和的概念 一般地，我们称______________为数列的前n项和，用表示，即．由此易得与的关系为． 二、等差数列的前n项和公式 首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和为 ，或． 三、等差数列前n项和公式的函数特性 在等差数列中，． 令，，可得，则 （1）当，即时，是关于n的二次函数，点是二次函数图象上一系列孤立的点； （2）当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线图象上一系列孤立的点． 四、等差数列前n项和的性质 利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质： 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）． （2）若数列共有项，则，， ；若数列共有项，则，． （3），． （4）构成公差为的等差数列． （5）． 特别地，当时，；当，时，． 一、 二、 三、 [来源:学。科。网Z。X。X。K] 帮—重点 等差数列的前n项和公式的应用、基本量的计算 帮—难点 等差数列的前n项和的性质及应用、数列求和问题 帮—易错 解决Sn的最值问题时应注意等差数列中为0的项 1．由前n项和求通项公式 （1）已知求通项公式：利用即可求解； （2）已知与之间的关系求：由关系式消去，建立与或之间的关系求；或由关系式消去，建立与之间的关系求，进而求． 设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n. （1）求a1及an； （2）判断这个数列是否是等差数列． 【答案】（1）an＝4n－32 （2）见解析 【解析】（1）因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32. （2）由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列． 已知正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn＋1)2，求{bn}的通项公式 【答案】2n－1 【解析】当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1， ∴bn＝(bn＋1)2－(bn－1＋1)2 ＝(b－b＋2bn－2bn－1)． 整理得：b－b－2bn－2bn－1＝0， ∴(