1.4充分条件与必要条件-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）（机构专用）

知识梳理 1、充分条件与必要条件的概念 （1）充分条件： 则是的充分条件 即只要有条件就能充分地保证结论的成立， 亦即要使成立，有成立就足够了，即有它即可。 （2）必要条件： 则是的必要条件 即没有则没有，亦即是成立的必须要有的条件，即无它不可。 （3）充要条件 且即 则、互为充要条件（既是充分又是必要条件） “是的充要条件”也说成“等价于”、 “当且仅当”等 （4）充分但不必要条件 定义：若，但， 则是的充分但不必要条件； （5）必要但不充分条件 定义：若 ，但， 则是的必要但不充分条件 （6）既不充分也不必要条件 定义：若，且， 则、互为既不充分也不必要条件． 2.判断充要条件的方法： 集合法----利用集合的观点概括充分必要条件 若条件以集合的形式出现，结论以集合的形式出现，则借助集合知识，有助于充要条件的理解和判断． （1）若，则是的充分但不必要条件 （2）若，则是的必要但不充分条件 （3）若，则是的充要条件 （4）若，且，则是的既不必要也不充分条件 (补充)简记作----若A、B具有包含关系，则 （1）小范围是大范围的充分但不必要条件 （2）大范围是小范围的必要但不充分条件 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 例题解析 【例1】　指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)设a，b是实数，p：a＋b>0，q：ab>0. 1．指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)A＝{2，a}，B＝{2,3}，p：a＝3，q：A＝B. (2)对于实数x，y，p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6. 【例2】　已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1. 【例3】　已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围． 【例4】　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【例5】求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 反思总结 1．充分、必要、充要条件判断的注意点 (1)在充分、必要条件的推理判断中，要注意挖掘题中隐含的特殊情况，稍不注意就会导致答案错误． (2)在解答问题时务必看清设问方式，明确哪个是条件，哪个是结论，然后根据充分、必要、充要条件的概念做出准确的判断． 2．利用充分、必要条件求参数的一般思路 利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解. 随堂检测 1.设，则的一个必要不充分条件是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2.使x>1成立的一个必要条件是(　　) A.x>0 B.x>3 C.x>2 D.x<2 3. 如果是的必要不充分条件，是的充分必要条件，是的充分不必要条件，那么是的（　　） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 4.设集合，，那么“或”是“”的（　　） Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件 5. 三个数不全为零的充要条件是（　　） Ａ．都不是零 Ｂ．中至多一个是零 Ｃ．中只有一个为零 Ｄ．中至少一个不是零 6.已知为非零实数，为某一实数，有命题：，：，则是的（　　） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 7．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　 ) A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 D．无法判断 8．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则(　　 ) A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件 9.下列p是q的