1-2-1 命题与量词-2020-2021学年新教材高中数学必修第一册【赢在微点】轻松课堂（人教B版）word版

1．2　常用逻辑用语 1．2.1　命题与量词 课程 标准 1.能从教材实例中抽象出命题、真命题、假命题的概念；2.能从教材实例中抽象出全称量词、存在量词的含义；3.理解全称量词命题、存在量词命题的概念，并能用数学符号表示。 知识点一、命题的概念 命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断。 知识点二、全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题 含有存在量词的命题称为存在量词命题 命题 形式 “对集合M中的所有元素x，r(x)”，可用符号简记为“∀x∈M，r(x)”。 “存在集合M中的元素x，s(x)”，可用符号简记为。 (1)常见的全称量词还有“一切”“任给”等。 (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等。 一、判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题。(√) (2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题。(√) (3)全称量词命题一定含有全称量词。(×) 二、做一做 1．命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)。 答案　有些　存在 2．“负数没有平方根”是________命题(填“全称量词”或“存在量词”)。 答案　全称量词 3．若命题“∀x∈{x|x>3}，x>a”是真命题，则a的取值范围是________。 解析　a≤3时，x>a恒成立，所以a的取值范围是a≤3。 答案　a≤3 类型一 命题的概念 【例1】　判断下列语句是不是命题，如果是，说明其真假。 (1)奇数不能被2整除； (2)实数的平方是正数； (3)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1； (4)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2。 解　(1)(2)(3)(4)都是陈述句，且能判断真假，因此都是命题。 (1)是真命题。因为奇数是不能被2整除的整数。 (2)是假命题。反例：0的平方还是0，不是正数。 (3)是真命题。由(a－1)2＋(b－1)2＝0可得a－1＝0且b－1＝0，所以a＝b＝1。 (4)是假命题。反例：y＝4，x＝3也满足y＝x＋1。 对于(4)，有的同学会找不到命题的条件和结论，不知道如何判断。事实上，“已知x，y为正整数”是大前提，“y＝x＋1”是条件，“y＝3，x＝2”是结论。需注意：简写的命题在日常学习中是很常见的，要想得到明显的条件和结论，需将原命题改写为“若p，则q”的形式。 【变式训练】　已知四个命题如下： ①所有的素数都是奇数； ②自然数集N中最小的数是1； ③圆内接四边形对角互补； ④若b≤1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根。 则这四个命题中真命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3[来源:学科网ZXXK] 解析　因为2是素数，但不是奇数，所以①是假命题。因为0∈N，所以②是假命题。因为根据圆的性质知，圆内接四边形对角互补，所以③是真命题。因为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，当Δ≥0，即b≤0时，方程x2－2bx＋b2＋b＝0才有实根，所以当b≤1时，方程x2－2bx＋b2＋b＝0不一定有实根，故④是假命题。故选B。 答案　B 类型二 全称量词命题与存在量词命题的判断[来源:Z*xx*k.Com] 【例2】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题。 (1)自然数的平方大于或等于零； (2)存在实数x，满足x2≥2； (3)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大。 解　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0。 (2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2。 (3)是存在量词命题，∃a∈R，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大。 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤 (1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题。 (2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题。 (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题的含义。 【变式训练】　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题。 (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形都是正方形； (3)有些素数的和仍是素数； (4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直。 解　(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题。 (2)可以改写为所有矩形都是正方形，故为全称量词命题。 (3)含有存在量词“有些”，故